Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 47

a) Bảng tần số tương đối của biểu đồ trên là:

b) Môn thể thao nào được học sinh THCS của $1$ trường yêu thích nhất là môn bơi vì môn bơi chiếm $47\%$ các bạn yêu thích.

a. Không gian mẫu của phép thử là:

.

Không gian mẫu có ${\rm{6}}$phần tử.

b. Vì các viên bi có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả là đồng khả năng.

+ Có ${\rm{2}}$ kết quả thuận lợi cho biến cố ${\rm{A}}$ là: .

Xác suất của biến cố ${\rm{A}}$là $P\left( A \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

+ Có $3$ kết quả thuận lợi cho biến cố ${\rm{B}}$ là: .

Xác suất của biến cố ${\rm{B}}$ là $P\left( B \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

+ Có ${\rm{4}}$ kết quả thuận lợi cho biến cố ${\rm{C}}$ là: .

Xác suất của biến cố ${\rm{C}}$ là $P\left( C \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

a) Thay $x = 25$(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $B$ ta được $B = \frac{1}{{\sqrt {25} + 2}} = \frac{1}{7}$

b) $M = \frac{A}{B}$

$$M = \left( {\frac{{x + 2}}{{x + \sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x + 2}}$$

$$= \left( {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{1}$$

$$= \left( {\frac{{\left( {x + 2} \right) - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{1}$$

$$= \frac{{x + 2 - 2x - 4\sqrt x + x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{1}$$

$$= \frac{{ - 4\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{1} = \frac{{ - 4\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

c) Theo đề bài ta có:

$${M^2} - M = 2$$

$$\left( {M + 1} \right)\left( {M - 2} \right) = 0$$

$M = - 1$ hoặc $M = 2$

* Với ${\rm{M = - 1}}$ ta có $\frac{{ - 4\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = - 1$

$- 4\sqrt x + 1 = - \sqrt x + 1$

$x = 0$ (TMĐK)

* Với ${\rm{M = 2}}$ ta có $\frac{{ - 4\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 2$

$- 4\sqrt x + 1 = 2\sqrt x - 2$

$x = \frac{1}{4}$ (TMĐK)

Gọi dân số nội thành và ngoại thành lần lượt là ${\rm{a}}{\rm{,}}\;{\rm{b}}$($0 < a,b < 420$, nghìn người)

Ta có: dân số của một tỉnh hay tổng của ${\rm{a}}$ và ${\rm{b}}$là ${\rm{420}}$ nghìn người nên $a + b = 420$

Dân số nội thành là: $100{,}8\% a{\rm{ }} = {\rm{ }}1{,}008a$(người)

Dân số ngoại thành là: $101{,}1\% b{\rm{ }} = {\rm{ }}1{,}011b$(người)

Vì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1% nên ta có pt:

$$1{,}008a\; + {\rm{ }}1{,}011b\; = {\rm{ }}420{\rm{ }}.101\%$$

$$1{,}008a\; + {\rm{ }}1{,}011b\; = {\rm{ }}424{,}2$$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 420\\1{,}008a\; + {\rm{ }}1{,}011b\; = {\rm{ }}424{,}2\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: $a = 140;{\rm{ }}b = 280$

Vậy dân số nội thành là ${\rm{140}}$ nghìn người, dân số ngoại thành là ${\rm{280}}$ nghìn người.

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $x\left( {{\rm{km/h}}} \right){\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$

Vận tốc lúc sau của ô tô là ${\rm{x + 10}}$$\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường đầu $\frac{{180}}{x}$ (giờ)

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường sau $\frac{{220}}{{x + 10}}$(giờ)

Theo đề bài, thời gian ô tô đi trên cả quãng đường là ${\rm{8}}$ giờ.

Ta có phương trình: $\frac{{180}}{x} + \frac{{220}}{{x + 10}} = 8$

Giải phương trình tìm được hai nghiệm: ${\rm{45}}$ và ${\rm{ - 5}}$

Giá trị $x = 45$ (TMĐK), trả lời.

Phương trình: ${x^2} - 3x - 7 = 0$

Ta có $a = 1;c = - 7$. Và $a.c < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 7}\end{array}} \right.$

$B = x_1^2 + x_2^2$$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$$= {3^2} - 2.( - 7)$$= 9 + 14$$= 23.$

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

$8.8.20 = 320\left( {c{m^3}} \right)$.

Thể tích của bốn lỗ hình trụ bằng nhau là: $\pi {R^2}h$$= 3{,}14.{\left( {\frac{{2{,}5}}{2}} \right)^2}.20$$= 98{,}125\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích đất sét để làm một viên gạch là: $320 - 98{,}125 \approx 221{,}9\left( {c{m^3}} \right)$

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: $10.1000.102\% = 10200$(viên gạch)

Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: $10200.1100 = 11{\rm{ }}220{\rm{ }}000$(đồng)

1) $BE \bot AC$(gt) $\Rightarrow \widehat {AEH} = {90^0}$

$CF \bot AB$(gt) $\Rightarrow \widehat {HFA} = {90^0}$

Ta có: $\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,E,H$cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.

$\Delta HFA$ vuông tại $F$ nên ba điểm $H,F,A$cùng thuộc đường tròn đường kính $AH.$

Nên $4$ điểm $A,F,H,E$cùng thuộc một đường tròn đường kính $AH.$

2) Xét đường tròn $(O)$có:

$\widehat {ABC} = \widehat {AQC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

$\widehat {ACQ} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACQ$ có: $\widehat {ABC} = \widehat {AQC}$ ; $\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = {90^0}$

Suy ra $\Delta ADB$∽$\Delta ACQ$ (g – g)

$\Rightarrow \widehat {BAD}$ = $\widehat {CAQ}$ (hai góc tương ứng)

3) Vì $\widehat {BAD}$ = $\widehat {CAQ}$ (hai góc tương ứng)

Vì $\widehat {BAD} = \widehat {CAQ}\;$$\Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {PAE}$$\Rightarrow \;\widehat {BAD} + \widehat {DAQ} = \widehat {DAQ} + \widehat {QAC}$$\Rightarrow \;\widehat {BAQ} = \widehat {DAC}$ hay $\widehat {BAI} = \widehat {PAE}$

$BE \bot AC$(gt) $\Rightarrow \widehat {BEC} = {90^0}$ ; $CF \bot AB$(gt) $\Rightarrow \widehat {CFB} = {90^0}$

Ta có: $\Delta BEC$ vuông tại $E$ nên ba điểm $B,E,H$cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

$\Delta BFC$ vuông tại $F$ nên ba điểm $B,F,C$cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$

Nên $4$ điểm $B,F,E,C$cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$

Suy ra tứ giác$BFEC$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {FBC} + \widehat {FEC} = {180^0}$

Mà $\Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {FEC} = {180^0}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {AEF}$

hay $\widehat {ABI} = \widehat {AEP}$

Xét $\Delta AEP$ và $\Delta ABI$ có: $\widehat {ABI} = \widehat {AEP}$ (cmt); $\widehat {BAI} = \widehat {PAE}$

nên $\Delta AEP$ ∽$\Delta ABI$ (g – g)

Vì $\Delta AEP$∽$\Delta ABI$ $\Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AP}}{{AI}}\;\;\quad \left( 1 \right)$

Chứng minh $\Delta AEH$ ∽$\Delta ABQ$ $\Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\quad \;\left( 2 \right)$

Từ$(1)$và $(2)$$\Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}}$$\Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}}$

$\Rightarrow$$PI\parallel HQ$ ( định lý Talet đảo)

Với $x,y,z \ge 0$

Ta đi chứng minh: ${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$

${x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + {z^3} - 3xyz \ge 0$

${\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0$

${\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0$

$2\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2xz - 2yz} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xz + {z^2} + {y^2} - 2yz + {z^2}} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - z} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2}} \right] \ge 0$ (Luôn đúng với mọi $x,y,z \ge 0$)

Vậy nên ${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$

Gọi cạnh hình vuông nhỏ là $x(m,0 < x < 1)$

Chiều cao của hình hộp là $x$ (m)

Chiều dài, chiều rộng của hộp hình hộp là $1 - 2x$ (m)

Thể tích của hộp hình lập phương khi đó là: $({m^3})$

$x.(1 - 2x)(1 - 2x)$$= \frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le {\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}$

$\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{4x + 1 - 2x + 1 - 2x}}{3}} \right)^3}$

$\frac{1}{4}.4x.(1 - 2x)(1 - 2x) \le \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{2}{{27}}$

Dấu bằng xảy ra khi $4x = 1 - 2x$

$$6x = 1$$

$x = \frac{1}{6}(TM)$