Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 46

Có tất cả: $1 + 5 + 9 + 5 = 20$ học sinh tham gia

Bảng tần số tương đối ghép nhóm cho kết quả trên là:

Không gian mẫu của phép thử là $\Omega = \left\{ {2;3;...;29;30} \right\}$. $\Omega$ có $29$phần tử.

Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

+ Có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố A là:$2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}7;{\rm{ }}11;{\rm{ }}13;{\rm{ }}17;{\rm{ }}19;{\rm{ }}23;{\rm{ }}29$.

Xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{29}}$.

1). Thay$x = 16$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ ta được $A = \frac{3}{4}$ và kết luận.

2). $B =$$\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + \sqrt x - 1 - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$

3). Với $x \ge 0,x \ne 1$

$P = A.B$$= \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Vì $\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0$ nên $\sqrt x + 2 > 0$
$\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} > 0 \Rightarrow P > 1 \Rightarrow \sqrt P > 1$$\Rightarrow P - \sqrt P = \sqrt P (\sqrt P - 1) > 0 \Rightarrow P > \sqrt P$

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x \left( m \right)$, $y \left( m \right)$.

Điều kiện: $x > y > 0$

Vì chu vi của mảnh đất là $120 m$ nên $2\left( {x + y} \right) = 120 \Leftrightarrow x + y = 60$ $\left( 1 \right)$

Diện tích của mảnh dất ban đầu là $xy \left( {{m^2}} \right)$

Nếu tăng chiều dài thêm $5\,m$ và tăng chiều rộng thêm $3\,m$ thì chiều dài mảnh đất là $x + 5 \left( m \right)$ và

chiều rộng mảnh đất là $y + 3 \left( m \right)$. Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm $245\,{m^2}$ nên

$\left( {x + 5} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 245 \Rightarrow 5x + 3y = 260$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 60\\5x + 3y = 260\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 20\end{array} \right.$ ( thỏa mãn)

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó là $40\,m$ và $20\,m$

Gọi giá gốc của quyển từ điển và món đồ chơi lần lượt là $x, y$ (nghìn đồng). ĐK: $x, y > 0$

Tổng số tiền của quyển từ điển và món đồ chơi là $750$ nghìn đồng, nên ta có $x + y = 750$ $\left( 1 \right)$

Do quyển từ điển được giảm $20\%$ và món đồ chơi được giảm $10\%$ nên BÌnh chỉ trả $630$ nghìn đồng, nên ta có $\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 300\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy giá gốc của quyển từ điển và món đồ chơi lần lượt là $450, 300$ nghìn đồng.

a). Diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên là:

S = Sxung quanh + Sđáy $\approx 2.\pi .0{,}2.0{,}6 + {0{,}2^2}.\pi = 0{,}28.\pi \left( {{m^2}} \right)$.

Vậy diện tích inox để làm nên chiếc xô hình trụ trên $0{,}28\pi \,{m^2}$

b). Thể tích nước có trong xô là

$V = \pi .{R^2}.\frac{2}{3}h = \pi {.0{,}2^2}.\frac{2}{3}0{,}6 = 0{,}016.\pi ({m^3})$

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $M$, $C$, $O$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn $\left( O \right)$,

+ Do $AM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên $MA \bot OA$. Suy ra $\widehat {MAO} = {90^0}$.

Suy ra $A$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ (1)

+ Do $MC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$nên $MC \bot OC$. Suy ra $\widehat {MCO} = {90^0}$.

Suy ra $C$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $A$, $M$, $C$, $O$cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

b) Chứng minh $OI.OM = O{A^2}$ và $OM\,{\rm{//}}\,BC$.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có hai tiếp tuyến $MA$, $MC$ cắt nhau tại $M$ suy ra $MA = MC$

Mà $OA = OC = R$

Suy ra $OM$ là đường trung trực của $AC$.

Suy ra $OM \bot AC\,\,\,(3)$. Mà $I \in AC$ nên$AI \bot OM$.

Xét $\Delta OIA$ và $\Delta OAM$ có (g.g)

Suy ra $\frac{{OI}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}$ hay $OI.OM = O{A^2}$(đpcm)

Ta có $\widehat {{\rm{ACB}}} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AC \bot BC$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$$OM\,{\rm{//}}\,BC$(đpcm)

c) Chứng minh ${\bf{K}}$là trung điểm của ${\bf{CH}}$.

Do $CH\,{\rm{//}}\,AM$ (cùng vuông góc với $AB$).

$\widehat {HCA} = \widehat {CAM}$ (hai góc so le trong) (5)

Mà $MA = MC$ (cmt) nên $\Delta MAC$ cân tại $M$.

$\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {{\rm{MCA}}}$(tính chất tam giác cân) (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\widehat {MCA} = \widehat {HCA}$.

Suy ra $AC$ là tia phân giác $\widehat {{\rm{MCH}}}$.

Mà $AC \bot CB(cmt)$

Suy ra $CB$là phân giác ngoài tại $C$ của $\Delta KCM$$\Rightarrow \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{CK}}{{CM}}(7)$

Xét $\Delta ABM$ có $KH\,{\rm{//}}\,AM$ (cùng vuông góc với $AB$)

Suy ra $\frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KH}}{{AM}}\,\,\,\,(8)$

Từ (7) và (8) suy ra $\frac{{CK}}{{CM}} = \frac{{KH}}{{AM}}$. Mà $CM = AM(cmt)$nên $CK = KH$.

Vậy $K$ là trung điểm của $CH$ (đpcm)

Ta có: $OH = OB--BH\; = 1--0{,}5 = 0{,}5$ (m).

Lại có $\cos \widehat {AOH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{0{,}5}}{1} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\widehat {AOH} = {60^0}$. Suy ra $\widehat {AOC} = {120^0}$.

Lại có $AH = OA.\sin \widehat {AOH} = 1.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $AC = 2AH = \sqrt 3$ (m).

Diện tích hình quạt $OAC$ là ${S_1} = \frac{{\pi .{R^2}.n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.1}^2}.120}}{{360}} = \frac{\pi }{3}$ (${m^2}$)

Diện tích tam giác $OAC$ là ${S_2} = \frac{1}{2}.OH.AC = \frac{1}{2}.0{,}5.\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ (${m^2}$).

Diện tích hình viên phân (diện tích màu tô đậm) là $S = \frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}$ (${m^2}$).

Thể tích bồn dầu ban đầu là ${V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.1^2}.5 = 5\pi \,\,({m^3})$.

Thể tích phần dầu đã lấy ra là ${V_2} = 5.S = \frac{{5\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}$ (${m^3}$).

Thể tích dầu còn lại trong bồn chứa là $V = {V_1} - {V_2} = 5\pi - \frac{{5\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}} \approx 12{,}637$.

Vậy bồn còn khoảng 12,637 m3 xăng.