Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 41

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $\left[ {600\,;\,750} \right)$ với tần số $40$.

Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là $\frac{{40.100}}{{150}}\% = 26{,}7\%$.

Không gian mẫu là $\Omega = \left\{ {44;45;46;54;55;56;64;65;66} \right\}$, suy ra $n\left( \Omega \right) = 9$

Có $6$ kết quả thuận lợi của biến cố “ Số được viết có hai chữ số khác nhau” là$\left\{ {45;46;54;56;64;65} \right\}.$ Vậy $P = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

1) Với $x = 16$ (thoả mãn $x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4$) ta có $A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}}$$= \frac{{19}}{2}$. Vậy $A = \frac{{19}}{2}$ khi $x = 16$.

2) Với $x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4$ ta có $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{3\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - 3\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 5\sqrt x + 6 - 3\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Vậy với $x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

3) Ta có $\frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}$

Xét $\frac{A}{B} - 3 = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x - 3\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{\sqrt x }}$

Với $x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4$ thì $\sqrt x > 0,\,\,{\left( {\sqrt x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ nên $\frac{A}{B} - 3 > 0$. Suy ra $\frac{A}{B} > 3$.

Vậy với $x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4$ thì $\frac{A}{B} > 3$.

Nếu thuê theo gói cố định thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là $350000$ (đồng).

Nếu thuê theo gói linh hoạt thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là

$189000 + 374.400 = 338600$ (đồng)

Như vậy, nếu anh Tâm nên thuê pin theo gói linh hoạt thì tiết kiệm hơn.

Số tiền anh Tâm tiết kiệm được mỗi tháng là $350000 - 338600 = 11400$ (đồng).

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong một ngày là $x$ (sản phẩm) $\left( {x \in \mathbb{N}*;{\rm{ }}x > 60} \right)$

Thời gian hoàn thành dự kiến $\frac{{480}}{x}$ (ngày).

Số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày sau khi tăng năng suất là: $x + 5$ (sản phẩm)

Số ngày thực tế hoàn thành: $\frac{{60}}{x} + \frac{{480 - 60}}{{x + 5}} = \frac{{60}}{x} + \frac{{420}}{{x + 5}}$ (ngày).

Vì đội hoàn thành sớm hơn so với dự kiến $2$ ngày nên ta có: $\frac{{480}}{x} - \left( {\frac{{60}}{x} + \frac{{420}}{{x + 5}}} \right) = 2$

$$\frac{{480}}{x} - \frac{{60}}{x} - \frac{{420}}{{x + 5}} = 2$$

$$\frac{{420}}{x} - \frac{{420}}{{x + 5}} = 2$$

$$\frac{{420\left( {x + 5} \right)}}{x} - \frac{{420x}}{{x + 5}} = \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}$$

$$420\left( {x + 5} \right) - 420x = 2x\left( {x + 5} \right)$$

$2{x^2} + 10x - 2100 = 0$, suy ra $\left[ \begin{array}{l}x = 30{\rm{ }}(tm)\\x = - 35{\rm{ }}(ktm)\end{array} \right.$

Vậy theo dự kiến mỗi ngày sẽ làm được $30$ sản phẩm.

Ta có: ${\rm{\Delta '}} = {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5$

$= \left( {{m^2} + 4m + 4} \right) + 1 = {(m + 2)^2} + 1 \ge 1\,\,\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$

Theo hệ thức Viète: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = - 4m - 5}\end{array}} \right.$.

Ta có ${x_1}$ là nghiệm của (1) nên $x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0$

$x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m = 5 + 2{x_1}{x_2}$

$\;x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m - 5 - 2{x_1}{x_2} = 0$

$\;x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_1}{x_2} + \left( { - 4m - 5} \right) = 0$

$\;x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 0$

$2\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2}} \right) = 0$

$2m + 4m + 5 = 0$

$m = - \frac{5}{6}$.

Vậy $m = - \frac{5}{6}$.

a) Vì $\widehat {BEC}$ và $\widehat {BDC}$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( O \right)$ nên: $\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ$

Suy ra hai điểm $E$ và $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$

Do đó bốn điểm $A$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$

Vậy tứ giác $AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ suy ra $AI \bot BC$

Chứng minh được (g.g)

Suy ra: $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BI}}{{BE}}$ hay $AB.BE = AI.BC$ (1)

Tương tự: $AC.CD = AI.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC = \left( {BI + CI} \right).BC = B{C^2}$

Vậy $AB.BE + AC.CD = B{C^2}$

c) Chứng minh 5 điểm $A\,,\,M\,,\,I\,,\,O\,,\,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$, suy ra tứ giác $AMIN$ nội tiếp , suy ra $\widehat {AMI} + \widehat {ANI} = 180^\circ$ (*)

Chứng minh (g.g), suy ra $\frac{{AE}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $AE.AB = AI.AH$ (3)

Chứng minh (g.g), suy ra $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AB}}$ hay $AB.AE = A{M^2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra hay $\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}$

Chứng minh (c.g.c), suy ra $\widehat {AMI} = \widehat {AHM}$ (**)

Tương tự: $\widehat {ANI} = \widehat {AHN}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra $\widehat {AHM} + \widehat {AHN} = 180^\circ$

Vậy ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, coi khung sắt là hình chữ nhật $ABCD$. Khi đó $\left( P \right){\rm{ }}$đi qua các điểm $O\left( {0;0} \right)$; $\left( { - 2; - 4} \right)$; $\left( {2; - 4} \right)$ nên parabol $\left( P \right)$ có phương trình: $y = - {x^2}$.

Giả sử $C \in \left( P \right)$$\Rightarrow$ $\left( {0 < x < 2} \right)$. Khi đó $BC = 2x$; suy ra

Ta có:

Suy ra ${S^2} \le \frac{{1024}}{{27}}$ hay $S \le \frac{{32\sqrt 3 }}{9}$. Dấu xảy ra khi $x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy kích thước của khung thép có chiều rộng là $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)$; chiều dài là $\frac{8}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.