Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 33

a)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {8{,}4;8{,}6} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{5.100}}{{100}}\% = 5\% ;.$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {8{,}6;8{,}8} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{12.100}}{{100}}\% = 12\% ;$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {8{,}8;9{,}0} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{25.100}}{{100}}\% = 25\% ;$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {9{,}0;9{,}2} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{44.100}}{{100}}\% = 44\% ;$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {9{,}2;9{,}4} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{14.100}}{{100}}\% = 14\% ;$

Vì vậy, bảng tần ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho được nêu trong bảng dưới đây.

b) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng

thống kê thu được ở câu a

- Có $20$ kết quả có thể xảy ra của phép thử “Số xuất hiện trên thẻ được lấy ra” là: $1;\;2;\;3;\;...\;;19;\;20.$

a) Những kết quả thuận lợi của biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có chữ số tận cùng là $2$” là: $2;\;12.$ Có $2$ kết quả thuận lợi

Vậy xác suất của biến cố A là: $\frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}$

b) Những kết quả thuận lợi của biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nguyên tố” là: $2;\;3;5;7;11;13;17;19.$ Có $8$ kết quả thuận lợi

Vậy xác suất của biến cố B là: $\frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}$

b) Những kết quả thuận lợi của biến cố C: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số với tích các chữ số bằng $4$” là: $14.$ Có $1$ kết quả thuận lợi

Vậy xác suất của biến cố C là: $\frac{1}{{20}}$

ĐK: $x \ge 0;x \ne 9$

1) Với $x = 49$(TMĐK) nên $\sqrt x = 7$ Thay vào $A$ ta được:

$A = \frac{{49 + 7}}{{7 - 3}}$

$A = 14$

2)

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{6\sqrt x }}{{9 - x}} - \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{6\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{6\sqrt x }}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} - \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 3) - 6\sqrt x - 3(\sqrt x - 3)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{x + 3\sqrt x - 6\sqrt x - 3\sqrt x + 9}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{x - 6\sqrt x + 9}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{{{(\sqrt x - 3)}^2}}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$

3) Ta có $M = A.B = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$M = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}$

$M = \frac{{x - 9 + 16}}{{\sqrt x + 3}}$

$M = \sqrt x - 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}$

$M = \sqrt x + 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6$

Với a,b $\ge 0$ ta có ${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ nên $a + b \ge 2\sqrt {ab}$. Dấu bằng xảy ra khi a = b

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có $x \ge 0$nên $\sqrt x + 3 > 0,\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} > 0$

Do đó $\sqrt x + 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2\sqrt {(\sqrt x + 3).\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}} = 8$

$\sqrt x + 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 8 - 6 = 2$

Nên M$\ge 2$ Suy ra Min M= 2 khi

$\sqrt x + 3 = \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}$

${(\sqrt x + 3)^2} = 16$

$\sqrt x + 3 = 4$

$\sqrt x = 1$

Gọi số áo tổ một may được trong một ngày là $x$ (áo), ($x \in {\mathbb{N}^*};\;x > 10$).

Gọi số áo tổ hai may được trong một ngày là $y$ (áo), ($y \in {\mathbb{N}^*}$).

Vì tổ thứ nhất may trong $3$ ngày, tổ thứ hai may trong $5$ ngày thì cả hai tổ may được $1310$ chiếc áo nên ta có phương trình : $3x + 5y = 1310$ (1).

Vì trong mỗi ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai $10$ chiếc áo nên ta có phương trình: $x - y = 10$ hay $x = y + 10$.

Thay $x = y + 10$ vào phương trình (1) ta được:

$3\left( {y + 10} \right) + 5y = 1310$

$3y + 30 + 5y = 1310$

$8y = 1280$

$y = 160$ (tm).

Suy ra $x = 160 + 10 = 170$ (tm).

Mỗi ngày tổ một may được $170$ áo, tổ hai may được $160$ áo.

Gọi số dãy ghế lúc đầu ở phòng họp là: $x$ (dãy)$\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Vì lúc đầu phòng họp có $150$ người nên số người được xếp trên một dãy ghế là:$\frac{{150}}{x}$(người).

Số người có trong phòng họp sau khi thêm $66$ người là:$150 + 66 = 216$(người).

Vì lúc sau phải kê thêm hai dãy ghế nên số dãy ghế lúc sau là:$x + 2$(dãy).

Số người được xếp trên một dãy ghế lúc sau là:$\frac{{216}}{{x + 2}}$(người).

Vì lúc sau mỗi dãy tăng thêm $3$ người nên ta có phương trình:

$\frac{{216}}{{x + 2}} - \frac{{150}}{x} = 3$

$216x - 150x - 300 = 3x\left( {x + 2} \right)$

$3{x^2} - 60x + 300 = 0$

${x^2} - 20x + 100 = 0$

${\left( {x - 10} \right)^2} = 0$

$x = 10$(thỏa mãn)

Vậy lúc đầu phòng họp có $10$ dãy ghế.

Vì $x = - \sqrt 3$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + 4x + m = 0$ nên ta có:

${\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + 4\left( { - \sqrt 3 } \right) + m = 0$

$\Rightarrow m = 4\sqrt 3 - 3$

Với $m = 3$ phương trình đã cho trở thành: ${x^2} + 4x + 4\sqrt 3 - 3 = 0$

$\Delta {\rm{'}} = {\left( {b{\rm{'}}} \right)^2} - ac$ $= {2^2} - 4\sqrt 3 + 3$$= 7 - 4\sqrt 3 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:${x_1} + {x_2} = - 4$; ${x_1}.{x_2} = 4\sqrt 3 - 3$

Vậy tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình là:

$\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}$$= \frac{{ - 4}}{{4\sqrt 3 - 4}}$$= \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}}$$= \frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}$.

a) Chiều cao của hộp hình trụ: $3.6{,}2 = 18{,}6{\rm{ }}\left( {cm} \right)$

Bán kính của hình tròn đáy hình trụ: $6{,}2:2 = 3{,}1{\rm{ }}\left( {cm} \right)$

Thể tích của hộp hình trụ là: $V = \pi {R^2}h \approx {3{,}14.3{,}1^2}.18{,}6$$\approx 561{,}3{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)$

b) Thể tích của 3 quả bóng tenis là: $V = 3.\frac{4}{3}\pi {R^3}$$\approx 3.\frac{4}{3}{.3{,}14.3{,}1^3}$$\approx 93{,}5{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích phần không gian còn trống bên trong là: $561{,}3 - 93{,}5 = 467{,}8{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)$

a) Chứng minh: Tứ giác $PDKI$ nội tiếp

Ta có $PQ$ là đường kính của đường tròn (O). Suy ra $\widehat {PIQ} = 90^\circ$ suy ra $CI.CP = CD.CK$

Do P là điểm chính giữa của cung lớn AB. Suy ra PA = PB

Mà OA = OB (cùng là bán kính của (O))

Suy ra PO là đường trung trực của AB suy ra $OP \bot AB$ tại D

Suy ra $PQ \bot AB$

$\widehat {PDK} = 90^\circ$

Nên $\widehat {PDK} + \widehat {PIK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Tứ giác ${\rm{PDKI }}$nội tiếp (hai góc đối bù nhau )

b) Xét tam giác $CIK$ và tam giác $CDP$ ta có :

$\widehat C$ chung

$$\widehat {CIK} = \widehat {CDP} = 90^\circ$$

$\frac{{CI}}{{CD}} = \frac{{CK}}{{CP}}$ suy ra $CI.CP = CD.CK$

$$CI.CP = CD.CK$$

Ta có PO là đường trung trực của AB, hay PQ là đường trung trực của AB

${\rm{QA}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{QB}}$ hay điểm $Q$ là điểm chính giữa cung nhỏ nên

Do đó $\widehat {AIQ} = \widehat {BIQ}$ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau )

Hay $IK$ là đường phân giác trong của tam giác $AIB$ ; và lại có $IK \bot IC{\rm{ ( }}\widehat {PIQ} = 90^\circ )$

nên $IC$ là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh $I$ của tam giác $AIB$

c) Ta đi chứng minh $K$ là điểm cố định

Ta có điểm $D$ là trung điểm $AB({\rm{ OD}} \bot {\rm{AB)}}$

Do $ABPI$ là tứ giác nội tiếp

$\widehat {CAI} = \widehat {CPB}$

$\frac{{CA}}{{CP}} = \frac{{CI}}{{CB}}$

$CA.CB = CI.CP$

Vậy nên $CA.CB = CK.CD\left( { = CI.CP} \right)$

$CK.CD = \left( {CD - DA} \right)\left( {CD + DB} \right)$

$CK.CD = \left( {CD - \frac{{AB}}{2}} \right)\left( {CD + \frac{{AB}}{2}} \right)$

$CK.CD = C{D^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}$

$C{D^2} - CK.CD = \frac{{A{B^2}}}{4}$

$CD.KD = \frac{{A{B^2}}}{4}$

$KD = \frac{{A{B^2}}}{{4CD}}$

Vì$A;{\rm{ }}B;{\rm{ }}C;{\rm{ }}D$ là bốn điểm cố định nên $K$ điểm cố định

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là $x$(m) ($x > 0$)

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là $4x$(m).

Gọi chiều cao của bể là $y$ (m, $y > 0$).

Thể tích của bể là $V = 4x.x.y = 400$ suy ra ${x^2}.y = 100$ suy ra$y = \frac{{100}}{{{x^2}}}$.

Diện tích xây dựng của bể là $S = 4{x^2} + 2\left( {x + 4x} \right)y$$= 4{x^2} + 10xy$$= 4{x^2} + 10.\frac{{100}}{{{x^2}}}.x$$= 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm (với hai số không âm $x,y$ ta có ${\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} \ge 0$nên $x + y - 2\sqrt {xy} \ge 0$ suy ra $x + y \ge 2\sqrt {xy}$, dấu bằng xảy ra khi $x = y$):

Ta có $S = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}$$= \left( {4{x^2} + 100} \right) + \frac{{1000}}{x} - 100$$\ge 2\sqrt {4{x^2}.100} + \frac{{1000}}{x} - 100$$= 40x + \frac{{1000}}{x} - 100$.

Và $S \ge 40x + \frac{{1000}}{x} - 100$$\ge 2\sqrt {40x.\frac{{1000}}{x}} - 100$$= 400 - 100 = 300$.

Khi đó ${S_{\min }} = 300$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4{x^2} = 100}\\{40x = \frac{{1000}}{x}}\end{array}} \right.$ suy ra $x = 5$

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là $300.500\,000 = 150\,000\,000$ đồng $= 150$triệu đồng