Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 3

a) Các y tá của phòng khám có thời gian công tác nhận những giá trị sau$1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7.$ Bảng tần số:

b) Phòng khám có: $6 + 5 + 5{\rm{ }} + 7 + 9 + 5{\rm{ }} + 2{\rm{ }} = 39$y tá.

c) Có $5 + 7 + 9 + 5 + 2 = 28$y tá đã công tác ở phòng khám ít nhất 3 năm.

a) Các kết quả có thể xảy ra là: Trung, Quý, Việt, An, Châu, Hương.

b) Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: An, Châu, Hương.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: Trung, Quý, An.

Vậy $P\left( B \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Thay x = 9 ( tmđk) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{9 - 7}}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}$

Vậy khi $x = 9$thì $A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\end{array}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x > 0,x \ne 4$

$P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}$+ Xét $P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}$ ( thoả mãn đk )

+ Xét $P \ne 0$

TH1: $x \in \mathbb{Z};x \ne 7;\sqrt x$là số vô tỉ $P \notin \mathbb{Z}$ ( loại)

TH2: $x \in \mathbb{Z},\sqrt x \in \mathbb{Z}$

Ta có: $P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$

Để $P \in \mathbb{Z}$

Suy ra $\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}$

Suy ra $\frac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}$

Suy ra $\sqrt x + 2 \in$Ư(3)

Vậy $\sqrt x + 2 \in \left\{ {1;3} \right\}$

Do $\sqrt x + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1$ ( thoả mãn )

Vậy với $x \in \left\{ {1;7} \right\}$; thì P có giá trị nguyên

Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là x ( km/h) ( ĐK: x > 5 ) Do kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến C hết tất cả 7 giờ nên ta có:

$\frac{{60}}{{x + 5}} + \frac{{60}}{{x - 5}} + \frac{3}{5} = 7$

Suy ra $\frac{{60}}{{x + 5}} + \frac{{60}}{{x - 5}} = \frac{{32}}{5}$

$\Rightarrow 300(x - 5) + 300(x + 5) = 32(x - 5)(x + 5)$

$32{x^2} - 600x - 800 = 0 \Leftrightarrow (x - 20)(4x + 5) = 0$

$\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x - 20 = 0\\4x + 5 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 20(TM)\\x = \frac{{ - 5}}{4}(L)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là 20 km/h

a) Bán t chiếc váy với giá 250 000 đồng 1 chiếc thì thu về: $250000.t$ đồng.

Biểu thức $X = 250000.t - 40000000$ ( đồng)

b) Để bắt đầu có lời thì:$X > 0$

$$\begin{array}{l}250000.t > 40{\rm{ }}000{\rm{ }}000\\t > 160\end{array}$$

Vậy phải bán được ít nhất 161 chiếc váy thì nhà may bắt đầu có lời.

Phương trình ${x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 3 = 0$

Ta có: $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 3} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 12 > 0$

Vì $\Delta > 0$ với mọi m nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Áp dụng định lý Ta-lét ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right.$$

Ta có: $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2$, (${x_1};{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne - 1$)

$$\begin{array}{l}\frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = 2\\\frac{{ - \left( {m + 1} \right)}}{{ - 3}} = 2\\\frac{{m + 1}}{3} = 2\\m + 1 = 6\\m = 5{\rm{ }}(t/m)\end{array}$$

Vậy để thỏa mãn $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2$ thì m = 5.

Hình nón có đường sinh l = 50 cm; bán kính đáy R = 30 cm; chiều cao h

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: ${h^2} + {R^2} = {l^2}$$\Leftrightarrow {h^2} + {30^2} = {50^2} \Leftrightarrow {h^2} = 1600 \Rightarrow h = 40(cm)$

Thể tích của hình nón là $V = \frac{1}{3}\pi .{R^2}.h \approx \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot {30^2} \cdot 40 = 37680(c{m^3})$

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$nội tiếp. Xác định tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$

Vì $CF \bot AB$ nên $\widehat {CFB} = 90^\circ$ suy ra tam giác BFC vuông tại F

Vì $BE \bot AC$ nên $\widehat {BEC} = 90^\circ$ suy ra tam giác BEC vuông tại E

Gọi O’ là trung điểm đoạn $BC.$

Xét tam giác BEC vuông tại E, O’ là trung điểm đoạn $BC.$ . Suy ra (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.) (1)

Xét tam giác BFC vuông tại F, O’ là trung điểm đoạn $BC.$ . Suy ra ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.) (2)

Từ (1) và (2) suy ra mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$, suy ra $O$ trùng O’

Suy ra $O$là trung điềm đoạn $BC.$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh $IE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $H$, có $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AH$ nên $EI = \frac{1}{2}AH = IH$

Suy ra: $\Delta IEH$ cân tại $I$ $\Rightarrow \widehat {IEH} = \widehat {IHE}$

Mà $\widehat {IHE} = \widehat {BHD}$ (Hai góc đối đỉnh)

Suy ra: $\widehat {IEH} = \widehat {BHD}$ (1)

Ta lại có: $OB = OE = R$ $\Rightarrow \Delta OEB$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat {OBE} = \widehat {OEB}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\widehat {IEH} + \widehat {OEB} = \widehat {BHD} + \widehat {OBE}$

Mặt khác: $\widehat {BHD} + \widehat {OBE} = 90^\circ$ (vì $\Delta BHD$ vuông tại $D$)

Suy ra: $\widehat {IEH} + \widehat {OEB} = \widehat {BHD} + \widehat {OBE} = 90^\circ$ hay $\widehat {OEI} = 90^\circ$

$\Rightarrow OE \bot EI$và $E \in (O)$Do đó: $IE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Vẽ $CI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M\,(M$ khác $C$ ), $EF$ cắt $AD$ tại $K$. Chứng minh ba điểm $B,K,M$ thẳng hàng.

Ta có: góc BMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc BMC = 90 độ

$\Rightarrow BM \bot IC$

Xét $\Delta IEK$ và $\Delta IDE$ có:

$\widehat {EIK}$ là góc chung

$\widehat {IDE} = \widehat {IEK}\,( = \widehat {ECF})$

Do đó: (g.g)

$\Rightarrow \frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IE}} \Rightarrow ID.IK = I{E^2}$

Mặt khác: $IM.IC = I{E^2}$ (Bạn đọc tự chứng minh)

$\Rightarrow ID.IK = IM.IC$

$\Rightarrow \frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IC}}$

Xét tam giác IMK và tam giác IDC có:

Góc MIK là góc chung

$\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IC}}$

$\Rightarrow \widehat {KMI} = \widehat {CDI} = 90^\circ$

$\Rightarrow KM \bot IC$

$\left. \begin{array}{l}BM \bot IC\\KM \bot IC\end{array} \right\} \Rightarrow B,M,K$ thẳng hàng

Đặt AE = x $\left( {0 \le x \le 30} \right)$

Chỉ ra được ${S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - 4{S_{AEH}} = 900 - 2x\left( {30 - x} \right)$

Do đó: ${S_{EFGH}} = 2{x^2} - 60x + 900 = 2{\left( {x - 15} \right)^2} + 450 \ge 450$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 15 (tm)

Vậy min ${S_{EFGH}} = 450{m^2}$khi AE = 15m