Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 29

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, tần số ghép nhóm của nhóm $\left[ {160;{\rm{ }}165} \right)$là 12 và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {160;{\rm{ }}165} \right)$ là $\frac{{12.100}}{{40}}\% = 30\%$

2) Hình bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số $1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}8$. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần.

Tính xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3”.

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3” là 4; 5; 6; 7; 8.

Xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3” là: $\frac{5}{8} = 0{,}625$

1) Thay $x$ = 25 thỏa mãn điều kiện $x > 0;x \ne 1$ vào biểu thức A, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 1}} = \frac{{5 + 1}}{{5 - 1}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Vậy giá trị của biểu thức A bằng $\frac{3}{2}$ tại x = 25.

2) $B = \frac{{x + 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$ với $x > 0;x \ne 1$

$B = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}$.

3) $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0;x \ne 1$.

Xét hiệu: $P - 1 = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt x }}$.

Vì $x > 0$nên $\sqrt x > 0$, suy ra $\frac{1}{{\sqrt x }} > 0$. Do vậy $P - 1 > 0 \Rightarrow P > 1$.

Vậy $P > 1$.

Số tiền của Tuấn mang đến nhà sách là: 300 + 20 = 320 (nghìn đồng)

Gọi số tờ tiền loại 10 nghìn đồng và số tờ tiền loại 20 nghìn đồng lần lượt là $x$, $y$ (tờ, $x,y > 0$)

Vì Tuấn mang 20 tờ tiền nên $x + y = 20$ (1)

Số tiền của Tuấn mang đến nhà sách là 320 nghìn đồng nên $10x + 20y = 320$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 20\\10x + {\rm{20}}y = 320\end{array} \right.$

Giải hệ trên ta có $\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.$ (thoả mãn).

Vậy lúc đầu Tuấn có 8 tờ tiền loại 10 nghìn đồng và có 12 tờ tiền loại 20 nghìn đồng.

Gọi $x$ (km), ($x > 120$) là độ dài quãng đường AB.

Thời gian ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h là: $\frac{x}{{40}}$ (giờ);

Nửa quãng đường AB là $\frac{x}{2}$ (km);

Thời gian thực tế ô tô đi đoạn đường lúc đầu với vận tốc 40 km/h là: $\frac{{\frac{x}{2} - 60}}{{40}} = \frac{{x - 120}}{{80}}$ (giờ);

Vận tốc sau khi tăng 10 km/h là: 40 + 10 = 50 (km/h);

Thời gian thực tế ô tô đi đoạn đường còn lại với vận tốc 50 km/h là: $\frac{{\frac{x}{2} + 60}}{{50}} = \frac{{x + 120}}{{100}}$ (giờ);

Ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

$\frac{{x - 120}}{{80}} + \frac{{x + 120}}{{100}} = \frac{x}{{40}} - 1$

$\frac{{5\left( {x - 120} \right)}}{{400}} + \frac{{4\left( {x + 120} \right)}}{{400}} = \frac{{10x}}{{400}} - \frac{{400}}{{400}}$

$\begin{array}{l}5x - 5.120 + 4x + 4.120 = 10x - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9x - 120 = 10x - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9x - 10x = - 400 + 120\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x = - 280\end{array}$

$x = 280$ (thoả mãn)

Vậy quãng đường AB dài 280 km.

Vì phương trình bậc hai ${x^2} + 3x + m = 0$có hai nghiệm nên $\Delta = {3^2} - 4.1.m = 9 - 4m \ge 0$.

Suy ra $m \le \frac{9}{4}$.

Gọi ${x_1};\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Theo hệ thức Viete, ta có ${x_1} + {x_2} = - 3;\,\,\,{x_1}.{x_2} = m$.

Xét biểu thức tổng bình phương các nghiệm ${x^2}_1 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}$

${x^2}_1 + {x_2}^2 = {\left( { - 3} \right)^2} - 2m = 9 - 2m$.

Để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho bằng 2025 thì $9 - 2m = 2025$.

Suy ra m = $-$1008 (thỏa mãn điền kiện $m \le \frac{9}{4}$).

Vậy m = $-$1008 thì tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho bằng 2025.

a) Bán kính đáy của lọ hình trụ là: r = 30:2 = 15 (cm)

Thể tích nước tinh khiết chứa trong lọ bằng thể tích của lọ hình trụ.

Thể tích nước tinh khiết là: $V = \pi {r_1}^2.{h_1} \approx {3{,}14.15^2}.20 = 14\,130$ (cm3)

b) Gọi thể tích lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là $40cm$, chiều cao h2 (cm) là ${V_2}$

Suy ra ${V_2} = \pi .{r_2}^2.{h_2} \approx 3{,}14.400.{h_2} = 1\,256.{h_2}$ (cm3)

Theo bài lượng nước trong lọ thứ hai cao một nửa chiều cao của lọ nên: $1\,256.\frac{{{h_2}}}{2} = 14\,130$

Suy ra ${h_2} = 22{,}5$(cm).

Vậy chiều cao của lọ thứ hai là 22,5 cm.

a) +) Có $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $MB \bot OB$ tại $B$. Suy ra $B$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ (1)

+) Có $I$ là trung điểm của dây $PQ$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OI \bot PQ$ tại $I$. Suy ra $I$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $B$, $O$, $I$, $M$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.

b) +) Xét $\left( O \right)$ có các tiếp tuyến $MA$, $MB$ cắt nhau nên tia $OM$ là phân giác của $\widehat {AOB}$.

$$\Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}$$

Lại có $\widehat {BEA} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}$ (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung)

Suy ra $\widehat {BOM} = \widehat {BEA}$ (3)

+) Có bốn điểm $B$, $O$, $I$, $M$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {BIM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {BEA} = \widehat {BIM}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AE$//$IM$ hay $AE$//$PQ$.

c) Kéo dài $IO$ cắt $AE$ tại $H$.

Do $OI \bot PQ$ và $AE$//$PQ$ (cmt) nên $OI \bot AE$ tại $H$ hay $OH \bot AE$ tại $H$.

Suy ra $H$ là trung điểm của $AE$.

Mà $K$ là trung điểm của $AE$ nên $K$ và $H$ trùng nhau.

Suy ra $K$ thuộc đường thẳng $OI$.

Vậy ba điểm $O$; $I$; $K$ thẳng hàng.

Thể tích hình nón: ${V_A} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.3^2}.6 = 18\pi$ (in3)

Thể tích hình trụ ${V_{\bf{B}}} = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.6 = 54\pi$ (in3)

Suy ra ${V_{\bf{B}}} = 3.{V_A}$. Do đó, lượng bắp rang bơ trong hộp hình trụ gấp ba lần lượng bắp rang bơ trong hộp hình nón.

Nếu một hộp bắp rang bơ hình nón có giá $1 thì giá tương đương một hộp bắp rang bơ hình trụ có giá là 3.1 = 3 ($).

Để người mua được lợi 10%, thì người mua cần trả 90% nguyên giá, tức là giá sau khi đã giảm là: 90%.3 = 2,7 ($).

Vậy cửa hàng B phải bán với giá $2,7 một hộp (hình trụ) để người mua được lợi 10% so với cùng lượng bắp rang bơ ở cửa hàng A.