Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 28

1) (0,5 điểm) $A = 2\sqrt {48} + 3\sqrt {75} - 2\sqrt {108} = 11\sqrt 3$

2) (0,5 điểm) ($P = \left( {\frac{3}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right).\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{9}{{\sqrt {4x} }}} \right) - 1$ (với x > 0, x ¹ 9)

= $\frac{{3\sqrt x + 9 - \sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\frac{{x - 9}}{{2\sqrt x }} - 1$ = $\frac{{2\sqrt x + 6}}{{2\sqrt x }} - 1$

= $\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{\sqrt x + 3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{3}{{\sqrt x }}$.

Vậy P = $\frac{3}{{\sqrt x }}$ với x > 0, x ¹ 9

3) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình NH-2024-GV48: $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\,\,\,\,\,\\3x - 7y = - 10\,\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 6x + 18y = 24\,\,\,\,\\6x - 14y = - 20\,\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}4y = 4\,\,\,\,\\6x - 14y = - 20\,\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình NH-2024-GV48 có nghiệm là $x = - 1$; $y = 1$.

a) (0,5 điểm) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là: ${f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\% = 13{,}33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\% = 30\%$

${f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\% = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\% = 16{,}67\%$

b) (0,5 điểm) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

c) (0,5 điểm)

PT: ${x^2} - 5x - 6 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}.{x_2} = - 6}\end{array}} \right.$

Khi đó: A = $\frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}$ = $\frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}$

A = $\frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$ = $\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$

Vậy: A = $\frac{{{5^2} - 2.( - 6) - 5}}{{ - 6 - 5 + 1}} = \frac{{ - 16}}{5}$

Vì chỉ số của Zn và H ở hai bên phương trình phản ứng bằng nhau, nên ta chỉ quan tâm đến chỉ số của N và O

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với N và O, ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}4y = 2x + 2\\12y = 6x + 2 + 2y\end{array} \right.$ (0,25 điểm)

$$\left\{ \begin{array}{l}4y - 2x = 2\\10y - 6x = 2\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}2y - x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$$

Nhân $2$ vế pt $\left( 1 \right)$với $3$ ta được hệ pt: $\left\{ \begin{array}{l}6y - 3x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.$

Trừ từng vế $2$ pt trên ta được $y = 2$

Thay $y = 2$ vào pt $\left( 1 \right)$ta được $x = 3$

Vậy ta có phương trình sau cân bằng $3Zn + 8HN{O_3} \to 3Zn{(N{O_3})_2} + 2NO + 4{H_2}O$

Gọi số tiền bác Lan đầu tư vào hai khoản trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng) ($x > 0$, $y > 0$)

Theo bài ra, bác Lan có $500$ triệu đồng để đầu tư vào $2$ khoản nên ta có phương trình:

$x + y = 500$ $\left( 1 \right)$

Mặt khác, số tiền đầu tư vào $2$ khoản có lãi suất lần lượt là $7\% /$năm và $6\% /$năm và tổng số tiền lãi $1$ năm nhận được là $32$ triệu đồng nên ta có pt:

$7\% .x + 6\% .y = 32$hay$7.x + 6.y = 3200$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ pt: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\7x + 6y = 3200\end{array} \right.$

Từ pt (1), ta có: $y = 500 - x$

Thế $y = 500 - x$vào pt $\left( 2 \right)$ ta được: $7.x + 6.(500 - x) = 3200$

$$x + 3000 = 3200$$

$x = 200$(TMĐK)

Thay$x = 200$ vào pt $y = 500 - x$, ta có:

$y = 500 - 200 = 300$(TMĐK)

Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.

Gọi $O$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.

Khi đó $O$ là giao điểm 3 đường phân giác.

Mà $\Delta ABC$ đều nên $AH$là đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.

Do đó $O$ là trọng tâm $\Delta ABC$ và $AH = 3.OH = 3.R$.

và $\widehat {HAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0};\,\,BC = 2.HC$

Xét $\Delta HAC$vuông tại $H$ta có

$$HC = AH.\tan 30^\circ = 3R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R.\sqrt 3$$

$${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = AH.HC = 3R.R\sqrt 3 {\rm{ = 3}}\sqrt 3 {R^2}$$

$$1\,200\,\, = \,\,3\sqrt 3 .{R^2}\,$$

$$R{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{1200}}{{3\sqrt 3 }}} \,\, \approx 15{,}2\,\,\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)$$

Chu vi đường tròn (O) là $2.3{,}14.15{,}2 \approx 95{,}5$(m)

Vậy bán kính $\left( O \right)$là $15{,}2$m; chu vi là $95{,}5$m.

(0,75 điểm)

Ta có:$\widehat {ADB} = {90^0}$ ( vì $AD \bot BC$

$\widehat {AEB} = {90^0}$ (vì $BE \bot AC$)

Xét tứ giác ABDF có $\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = {90^0}$

mà D và F là 2 đỉnh kề nhau cùng cạnh AB

dưới 1 góc vuông

Nên 4 điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) (0,75 điểm) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDF có

$\widehat {EBD}$là góc nội tiếp chắn cung DE

$\widehat {EAD}$là góc nội tiếp chắn cung DE

Nên $\widehat {EBD} = \widehat {EAD}$(Hệ quả góc nội tiếp) hay $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$

Xét ΔBHD và ΔACD có$\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = {90^0}$

$\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cmt)

Do đó $\Delta BHD$ đồng dạng với$\Delta ACD$ (g-g)

Suy ra $\frac{{DB}}{{AD}} = \frac{{DH}}{{DC}}$ => DB.DC = DH.DA

c) (0,75 điểm) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BC.

(0,75 điểm) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Xét đường tròn (O) có:

$\widehat {ABK} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó

$KB \bot AB$.

Mặt khác:$CH \bot AB$ (giả thiết)

Suy ra:$KB$//$CH$ (quan hệ vuông góc song song) (1)

Xét đường tròn (O) có:$\widehat {ACK} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn

nửa đường tròn), do đó $KC \bot AC$.

Mặt khác:$BH \bot AC$ (giả thiết)

Suy ra: $KC$//$BH$ (quan hệ vuông góc song song) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

(dấu hiệu nhận biết), suy ra hai đường chéo BC và HK

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tính chất).

Mà I là giao điểm của BC và HK nên I là trung điểm

của BC.

d) (0,75 điểm) Tính $\frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}}$.

Đặt $P = \frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}}$

Khi đó

$\begin{array}{l}P = \frac{{AD - HD}}{{AD}} + \frac{{BE - HE}}{{BE}} + \frac{{CF - HF}}{{CF}}\\P = 1 - \frac{{HD}}{{AD}} + 1 - \frac{{HE}}{{BE}} + 1 - \frac{{HF}}{{CF}}\\P = 3 - \left( {\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}} \right)\end{array}$

Ta có: $\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{{S_{\Delta HAC{\rm{ }}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}};\,\,\,\,\frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$ $\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} + \frac{{{S_{\Delta HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{AABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta HBC}} + {S_{\Delta HAC}} + {S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{\Delta BC}}}} = 1$

Vậy $P = \frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}} = 3 - 1 = 2$

Gọi đường kính của nửa hình tròn là $x\,(m;\,\,0 < x < 8)$

Khi đó bán kính: $\frac{x}{2}\,(m)$

Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là $y\,\,(m;\,0 < y < 8)$

khi đó tổng độ dài của khuôn gỗ

$$\begin{array}{l}\frac{{\pi x}}{2} + x + 2y = 8\\\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)x + 2y = 8\\y = 4 - \left( {\frac{{\pi + 2}}{4}} \right)x\end{array}$$

S cửa sổ $S = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + xy = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + xy$

$$\frac{{\pi {x^2}}}{8} + x\left[ {4 - \left( {\frac{{\pi + 2}}{4}} \right)x} \right]$$

= … = $- \frac{{\pi + 4}}{8}{\left( {x - \frac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + \frac{{32}}{{\pi + 4}} \le \frac{{32}}{{\pi + 4}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{{18}}{{\pi + 4}}$ nên $y = \frac{8}{{\pi + 4}}$