Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 21

a) Liệt kê các giá trị khác nhau ta được: $1150;{\rm{ }}1160;{\rm{ }}1170;{\rm{ }}1180;{\rm{ }}1190$

Với mỗi giá trị khác nhau, ta đếm xem giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần trong bảng.

Bảng phân bố tần số:

Tần số tương đối của các giá trị lần lượt là:

${f_1} = \frac{{3.100}}{{30}} = 10\%$; ${f_2} = \frac{{6.100}}{{30}} = 20\%$; ${f_3} = \frac{{12.100}}{{30}} = 40\%$;

${f_4} = \frac{{6.100}}{{30}} = 20\%$; ${f_5} = \frac{{3.100}}{{30}} = 10\%$

Vì vậy, bảng tần số tương đối của mẫu số liệu đã cho được nêu trong Bảng sau.

b) Số bóng đèn có tuổi thọ từ $1160$ đến $1180$ chiếm số phần trăm là:

$20\% + 40\% + 20\% = 80\%$

Vậy nhận định “Có trên $75\%$ bóng đèn có tuổi thọ từ $1160$ đến $1180$” là đúng.

Xét phép thử “Tung một đồng tiền xu liên tiếp ba lần”. Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Có 8 khả năng có thể xảy ra là: SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SNN; NSN; NNS.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{3}{8}.$

Có $M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}$ và $N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0;{\rm{ }}x \ne 1$.

a) Thay $x = 25$ (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $N$, ta có $N = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} }} = \frac{6}{5}$.

Vậy với $x = 25$ thì giá trị của biểu thức $N = \frac{6}{5}$.

b) Ta có: $M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}$

$$M = \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$$M = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$M = \frac{{x + \sqrt x - 2 - x + \sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

+) Có $M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$; $N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ mà $S = M.N$

Nên $S = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$$= \frac{2}{{x - 1}}$.

Vậy $S = \frac{2}{{x - 1}}$ khi $x > 0;{\rm{ }}x \ne 1$.

c) Có $S = \frac{2}{{x - 1}}$ ($x > 0;{\rm{ }}x \ne 1$). Mà $S < - 1$ nên có $\frac{2}{{x - 1}} < - 1$.

Do đó: $\frac{{2 + x - 1}}{{x - 1}} < 0$ hay $\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0$ (1)

Vì $x > 0$ nên $x + 1 > 0$ (2)

Từ (1) (2), ta có: $x - 1 < 0$ nên $x < 1$.

Kết hợp điều kiện xác định $x > 0;{\rm{ }}x \ne 1$ ta có: $0 < x < 1$.

Vậy $0 < x < 1$ thì $S < - 1$.

Gọi $x$ là số tiền đôi giầy lúc chưa giảm giá ($x > 0;$ đồng)

Gọi $y$ là số cà vạt lúc chưa giảm giá ($y > 0;$ đồng)

Theo bài ra:

+) Số tiền mua mỗi đôi giầy gấp $11$ lần tiền mua mỗi chiếc cà vạt không giảm giá nên ta có phương trình $x = 11y$ (1)

+) Vì giảm giá $18\%$ cho mỗi đôi giầy và $20\%$ cho mỗi chiếc cà vạt nên số tiền cần phải trả để mua giầy là $\left( {100 - 18} \right)\% x = 0{,}82x$ (đồng) và số tiền cần trả để mua cà vạt là $\left( {100 - 20} \right)\% y = 0{,}8y$ (đồng). Bạn Duy đã dùng $834{\rm{ }}700$ đồng nên ta có phương trình: $0{,}82x + 0{,}8y = 834{\rm{ }}700$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 11y\\0{,}82x + 0{,}8y = 834\,700\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $x = 935{\rm{ }}000;{\rm{ }}y = 85{\rm{ }}000$

Do đó khi chưa giảm giá số tiền mua đôi giầy và cà vạt là:

$935{\rm{ }}000 + 85{\rm{ }}000 = 1{\rm{ 020 000}}$ đồng

Vậy với số tiền 1 025 000 đồng bạn Duy đủ tiền mua nên bạn nhẩm chưa đúng.

Gọi $x$ (chiếc) là số khẩu trang mà tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch ($x \in \mathbb{N}*$).

Thời gian may xong theo kế hoạch là : $\frac{{8400}}{x}$ (ngày)

Số khẩu trang thực tế tổ phải may mỗi ngày là: $x + 102$ (chiếc)

Thời gian may xong theo thực tế là : $\frac{{6416}}{{x + 102}}$ (ngày)

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{{8400}}{x} - \frac{{6416}}{{x + 102}} = 4$

Giải phương trình ta được: $x = 700\,\,\,\,\,(tm)$ ; $x = - 306\,\,(ktm)$

Vậy số khẩu trang tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch là $700$ chiếc.

Nhận thấy $a + b + c = 2 + \left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right] + m - 1 = 0$ nên phương trình có 2 nghiệm là $1,\frac{{m - 1}}{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ , theo yêu cầu bài toán ta có ${x_1} - {x_2} = {x_1}.{x_2}$

+ Nếu ${x_1} = 1,{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}$ nên $1 - \frac{{m - 1}}{2} = \frac{{m - 1}}{2} \Leftrightarrow m = 2$

+ Nếu ${x_2} = 1,{x_1} = \frac{{m - 1}}{2}$ nên $\frac{{m - 1}}{2} - 1 = \frac{{m - 1}}{2}$ hay $- 1 = 0$ (vô lý)

Do đó, không có giá trị m thỏa mãn.

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

$V = 8.8.20 = 320\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích của bốn lỗ hình trụ bằng nhau là: ${V_1} = \pi {R^2}h = 3{,}14.{\left( {\frac{{2{,}5}}{2}} \right)^2}.20 = 98{,}125\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích đất sét để làm một viên gạch là: ${V_2} = V - {V_1} = 320 - 98{,}125 \approx 221{,}9\left( {c{m^3}} \right)$

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: $10.1000.\left( {1 + 2\% } \right) = 10{\rm{ 200}}$ (viên gạch)

Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: $10{\rm{ 200}}{\rm{. 1 100 = 11 220 000}}$ (đồng)

a. Ta có: $\widehat {AKB} = {90^0}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( O \right)$)

nên $\Delta AKC$ vuông tại $K$

Do đó, ba điểm $A,K,C$ thuộc đường tròn đường kính $AC$ (1)

+) Ta có $\widehat {AEC} = {90^0}$ (vì đường kính $AB$ vuông góc với dây $MN$ tại $E$ theo giả thiết)

Nên $\Delta AEC$ vuông tại $E$

Do đó, ba điểm $A,E,C$ thuộc đường tròn đường kính $AC$ (2)

Từ (1) và (2), ta có bốn điểm $A,K,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$

Vậy tứ giác $AKCE$nội tiếp.

b. + Ta có tứ giác AKCE nội tiếp (cmt)

nên $\widehat {KA{\rm{E}}} + \widehat {KC{\rm{E}}} = {180^0}$ (tính chất)

Do đó, $\widehat {KC{\rm{E}}} = {180^0} - \widehat {KA{\rm{E}}}$ (1)

+) Ta có bốn điểm AKMB thuộc đường tròn (O) nên tứ giác AKMB nội tiếp

Do đó, $\widehat {KA{\rm{B}}} + \widehat {KMB} = {180^0}$. Suy ra $\widehat {KMB} = {180^0} - \widehat {KA{\rm{B}}}$ (2)

+) Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {KC{\rm{E}}} = \widehat {KMB}$ mà $\widehat {KC{\rm{E}}} = \widehat {MCB}$ (đối đỉnh)

Nên $\widehat {MCB} = \widehat {KMB}$

+) Xét $\Delta BMC$ và $\Delta BKM$ có:

$\widehat {MBK}$ chung; $\widehat {MCB} = \widehat {KMB}$ (cmt)

Nên (góc-góc)

Do đó $\frac{{BM}}{{BK}} = \frac{{BC}}{{BM}}$. Suy ra$B{M^2} = BK \cdot BC$.

c. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AECK, ta có:

$\widehat {EKC} = \widehat {EAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$) (3)

+) Xét tam giác BAI có BK, IE là hai đường cao, mà chúng cắt nhau tại C.

Suy ra C trực tâm tam giác $BAI$ nên $\widehat {ADB} = 90^\circ$. Suy ra $D$ thuộc đường tròn (O)

+) Ta có $\widehat {CKD} = \widehat {EAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BD$của đường tròn (O). (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {EKC} = \widehat {CKD}$

Do đó, $KC$ là tia phân giác của góc $EKD$

+) Chứng minh tương tự câu a ta được tứ giác $BECD$nội tiếp

Suy ra $\widehat {CDE} = \widehat {CBE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $CE$)

Mặt khác $\widehat {KDC} = \widehat {CBE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AK$của$\left( {\rm{O}} \right)$)

Suy ra $\widehat {CDE} = \widehat {KDC}$, suy ra $DC$ là tia phân giác của góc $KDE$

Tam giác $KDE$ có $C$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $K$ và $D$

Suy ra $C$ cách đều 3 cạnh của tam giác $KDE$

Gọi $a$ (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ $\left( {a > 0} \right)$

Theo đề bài ta có chiều cao của lăng trụ là $h = \frac{{62{,}5}}{{{a^2}}}$

Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:

$S = 4.\frac{{62{,}5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có $S \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{{125}}{a} = {a^2}$ hay $a = 5$.

Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là $75{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ khi độ dài cạnh đáy là $5{\rm{d}}m$.