Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 16

Tần số ghép nhóm của nhóm $[161;164)$ là $n = 18$.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[161;164)$ là: $f = \frac{{18.100}}{{40}}\% = 45\%$

Gọi số quả bóng trắng trong hộp là $x$ (đơn vị: quả bóng) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Tổng số quả bóng trong hộp là $9 + x$(quả bóng)

Xác suất để lấy được một quả bóng màu trắng là: $P = \frac{x}{{x + 9}}$

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{x}{{x + 9}} = \frac{2}{5}$

$$5x = 2\left( {x + 9} \right)$$

$x = 6$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy trong hộp có $6$quả bóng màu trắng.

1) Tính giá trị của $A$ khi $x = 16$.

Thay $x = 16$ (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được: $A = \frac{{\sqrt {16} }}{{16 - 9}} = \frac{4}{7}$.

Vậy khi $x = 16$ thì $A = \frac{4}{7}$.

2) Rút gọn biểu thức $B$.

Điều kiện: với $x \ge 0$ và $x \ne 4,x \ne 9$

$B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$$= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}}$$= 3 + \sqrt x$

Vậy $B = 3 + \sqrt x$ với $x \ge 0$ và $x \ne 4,x \ne 9$.

3) Xét biểu thức $P = A.B$. Tìm $x$ để $P < 1$.

$P = \frac{{\sqrt x }}{{x - 9}}.\left( {\sqrt x + 3} \right) = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right).\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\left( {\sqrt x + 3} \right) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$.

Để $P < 1$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1$ hay $\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$. Suy ra $\sqrt x - 3 < 0$(vì $3 > 0$)

Do đó $\sqrt x < 3$ hay $x < 9$. Kết hợp với điều kiện $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9$, ta được $0 \le x < 9$ và $x \ne 4$

Vậy $P < 1$ khi $0 \le x < 9$ và $x \ne 4$.

Gọi số tình nguyện viên đội $A$ là $x$(đơn vị: tình nguyện viên)

số tình nguyện viên đội $B$ là $y$ (đơn vị: tình nguyện viên)

Điều kiện: $x;y \in {\mathbb{N}^*};x;y < 27$

Theo đề bài ta có phương trình $x + y = 27\quad \left( 1 \right)$

Số cây đội A trồng được là $2x$ (cây xanh)

Số cây đội B trồng được là $3y$ (cây xanh)

Theo đề bài ta có phương trình $2x + 3y = 66\quad \left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\2x + 3y = 66\end{array} \right.$

Giải hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 12\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy đội A có $15$tình nguyện viên và đội B có $12$ tình nguyện viên

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$(đơn vị: km/h) $\left( {x > 3} \right)$

Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là $x + 3$(km/h)

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là $x - 3$(km/h)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là $\frac{{48}}{{x + 3}}$(h)

Thời gian ca nô đi ngược dòng là $\frac{{48}}{{x - 3}}$(h)

Theo đề bài ta có phương trình $\frac{{48}}{{x + 3}} + \frac{1}{2} + \frac{{48}}{{x - 3}} = \frac{{41}}{{10}}$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{48}}{{x + 3}} + \frac{{48}}{{x - 3}} = \frac{{18}}{5}\\\frac{{48\left( {x - 3} \right) + 48\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{18}}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{96x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{18}}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3{x^2} - 80x - 27 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 27} \right) = 0\end{array}$

$x = \frac{{ - 1}}{3}$ (loại) hoặc $x = 27$(thoả mãn)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $27km/h$.

Thay $x = 1 + \sqrt 7$vào phương trình ta có: ${\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} - 2\left( {1 + \sqrt 7 } \right) - m + 1 = 0$

$8 + 2\sqrt 7 - 2 - 2\sqrt 7 - m + 1 = 0$

$m = 7$

Phương trình có dạng ${x^2} - 2x - 6 = 0$

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = - 6}\end{array}} \right.$

Ta có $A = x_1^2{x_2} + x_2^2{x_1} = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 6 \cdot 2 = - 12$

Vậy $A = - 12$

a) Thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn là ${V_1} = \pi \cdot {4^2} \cdot 10 = 160\pi \,\,(c{m^3})$

Vậy thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn là $480\pi \,\,(c{m^3})$

b) Thể tích của bình hình trụ đó là ${V_0} = \pi \cdot {4^2} \cdot 30 = 480\pi \,\,(c{m^3})$

khi Cáo thả những viên bi vào thì súp dâng đến vừa đầy miệng bình nên thể tích của các viên bi là $V = {V_0} - {V_1} = 480\pi - 160\pi = 320\pi \,\,(c{m^3})$

Thể tích của mỗi viên bi là ${V_{1\,vien\,bi}} = \frac{4}{3}\pi .{R^3} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32}}{3}\pi$ (cm3)

Số lượng viên sỏi đã thêm vào là: $320\pi :\left( {\frac{{32}}{3}\pi } \right) = 30$ (viên)

Vậy Cáo đã thêm $30$ viên bi.

a) Do $MA,MB$ là tiếp tuyến của nửa đương tròn (O) nên ta có $\widehat {MAO} = \widehat {MCO} = {90^ \circ }$

Suy ra là tam giác vuông tại $A$ và là tam giác vuông tại $C$

Suy ra $M,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$ và $M,C,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$

Do đó bốn điểm $A,M,C,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có $\widehat {AMC} = \widehat {COB} = {60^ \circ }$ ( hai góc cùng bù với $\widehat {AOC}$)

Diện tích hình quạt $COB$ là $\frac{{60}}{{360}}\pi \cdot {R^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}$

Do $MA,MC$là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên $MA = MC$và $OA = OC$

Từ đó suy ra $M$ thuộc đường trung trực của $AC,O$ thuộc đường trung trực của $AC$

Nên $MO$ vuông góc $AC$tại trung điểm $E$ của $AC$, suy ra $\widehat {AEM} = {90^ \circ }$

Suy ra vuông tại $E$, nên nội đường tròn đường kính $MA$

Có $\widehat {ADM} = 180 - \widehat {ADB} = {90^ \circ }$ ( do $\widehat {ADB}$ chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ADB} = {90^ \circ }$).

Suy ra $\Delta ADM$ vuông tại $D$, nên $\Delta ADM$ nội đường tròn đường kính $MA$

Do đó tứ giác $AMDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $MA$.

Xét tứ giác $AMDE$ nội tiếp có :$\widehat {ADE} = \widehat {AMO}$ (cùng chắn )

Xét tứ giác $AMCO$ nội tiếp có :$\widehat {AMO} = \widehat {ACO}$ (cùng chắn )

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {ACO}$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $MB$ và $CH$.

Do $CH//AM$ nên theo định lí Thales thì $\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{HB}}{{2R}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{HB}}{R}$

Ta có $OM//BC$( cùng vuông góc với $AC$) suy ra $\widehat {MOA} = \widehat {CBH}$ ( hai góc đồng vị)

Xét $\Delta HCB$ và $\Delta AMO$ có $\widehat {MAO} = \widehat {CHB} = {90^ \circ }$ ; $\widehat {MOA} = \widehat {CBH}$

Suy ra $\Delta HCB \sim \Delta AMO$, nên $\frac{{HB}}{{OA}} = \frac{{CH}}{{AM}} = \frac{{HB}}{R}$

Do đó $\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{CH}}{{AM}}$ hay $HK = \frac{1}{2}CH$

Suy ra $MB$ đi qua trung điểm của $CH$ (đpcm).

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là $x$(m) (điều kiện $x > 0$)

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là $4x$(m).

Gọi $y$ là chiều cao của bể (điều kiện $y > 0$)

Nên ta có $V = 4x.x.y = 400 \Leftrightarrow {x^2}.y = 100 \Leftrightarrow y = \frac{{100}}{{{x^2}}}$.

Diện tích xây dựng của bể là $S = 4{x^2} + 2\left( {x + 4x} \right)y = 4{x^2} + 10xy = 4{x^2} + 10.\frac{{100}}{{{x^2}}}.x = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}$Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có: $S = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x} = \left( {4{x^2} + 100} \right) + \frac{{1000}}{x} - 100 \ge 2\sqrt {4{x^2}.100} + \frac{{1000}}{x} - 100 = 40x + \frac{{1000}}{x} - 100$Và $S \ge 40x + \frac{{1000}}{x} - 100 \ge 2\sqrt {40x.\frac{{1000}}{x}} - 100 = 400 - 100 = 300$.

Khi đó ${S_{\min }} = 300$.

Dấu = xảy ra khi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4{x^2} = 100}\\{40x = \frac{{1000}}{x}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là $300.500000 = 150000000$ đồng $= 150$triệu đồng