Lời giải Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 13

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Bảng tần số ghép nhóm

Chiều cao (cm)	[155; 158)	[158; 161)	[161; 164)	[164;167)
Số HS	5	12	15	8

· Tần số tương đối của nhóm [161; 164) là

$\frac{15}{40}\$ . 100% = 37,5%

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

2) Kí hiệu các quả bóng đỏ trắng xanh là Đ1, Đ2, X1, X2, T1, T2 Không gian mẫu: Ω = { Đ1Đ2, X1X2, T1T2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2, X1T1, X1T2, X2T1, X2T2}
Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là : Đ1Đ2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2
P(A) = $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1) Bảng tần số ghép nhóm \| Chiều cao (cm) \| [155; 158) \| [158; 161) \| [161; 164) \| [164;167) \| \| --- \| --- \| --- \| --- \| --- \| \| Số HS \| 5 \| 12 \| 15 \| 8 \|
1) Thay $x = 16$ (tmđk) vào biểu thức $A = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}$ ta được $A = \frac{{3\sqrt {16} - 2}}{{1 - \sqrt {16} }} = \frac{{3.4 - 2}}{{1 - 4}} = \frac{{12 - 2}}{{ - 3}} = - \frac{{10}}{3}$ Vậy khi $x = 16$ thì $A = - \frac{{10}}{3}$
2) Với x ≥ 0 , x ≠ 1 . Ta có: $P = A + B = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}$ $P = \frac{{\left( { - 3\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$ $P = \frac{{ - 3x - 7\sqrt x + 6 + 15\sqrt x - 11 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$ $= \frac{{ - 5x + 7\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{ - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$ $P = \frac{{ - 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}$ . Vậy với $x \ge 0;\,x\, \ne \,1$ thì $P = \frac{{ - 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}$
Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là : Đ1Đ2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2
3) Với $x \ge 0;\,x\, \ne \,1$ ta có: $m = P\left( {\sqrt x + 3} \right) = \frac{{ - 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\left( {\sqrt x + 3} \right) = - 5\sqrt x + 2$ Với $x \ge 0 \Rightarrow - 5\sqrt x \le 0 \Rightarrow - 5\sqrt x + 2 \le 2 \Rightarrow m \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ Mặt khác $x\, \ne \,1\, \Rightarrow \,\sqrt x \, \ne 1\, \Rightarrow - 5\sqrt x \ne - 5 \Rightarrow - 5\sqrt x + 2 \ne - 3 \Rightarrow m \ne - 3\,\,\left( 2 \right)$ Từ (1) và (2) $\Rightarrow m \le 2;\,m \ne \, - 3$ Vậy với $m \le 2;\,m\, \ne \, - 3$ thì có x thỏa mãn $P\left( {\sqrt x + 3} \right) = m$

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đổi 30 phút = 1/2 giờ Gọi vận tốc riêng của ca nô là x(km/h) (x > 3) Vận tốc xuôi dòng là x + 3 (km/h) Vận tốc ngược dòng là x - 3 (km/h)
Thời gian xuôi dòng là Thời gian ngược dòng là Thời gian cả đi và về và nghỉ là: 10 giờ 36 phút - 6 giờ 30 phút = 4 giờ 06 phút =
Ta có phương trình: = . Giải phương trình ra x1 = 27; x2 =
Đối chiếu điều kiện và trả lời Vận tốc riêng của ca nô là 27 km/h

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong việc là x (ngày) (x > 6 ) Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là y (ngày) (y > 6 ) Thì 1 ngày người thứ nhất làm được (công việc) 1 ngày người thứ hai làm được (công việc) 1 ngày cả hai người làm được (công việc)
Ta có phương trình (1)
5 ngày người thứ nhất làm được (công việc) 4 ngày người thứ hai làm được (công việc) Ta có phương trình (2)
Giải hệ 2 phương trình (1), (2) được x = 9, y = 18 Đối chiếu kết quả với điều kiện và trả lời

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi Theo định lí Viète ta có x1 . x2 = 5 mà x1 = nên x2 =
Ta có - 2x1 . x2 = 82 – 2.5 = 54

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đổi 1,75m = 17,5 dm Số nước đã tháo ra ngoài thể tích của hình trụ có bán kính ddáy là 5 dm và có chiều cao là: 17,5dm – 10dm = 7,5dm
Thể tích phần nước tháo ra là 2.5.π .7,5 235,5 dm3 = 235,5 l Vậy thể tích nước đã tháo ra ngoài xấp xỉ 235,5 lít

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Tứ giác AMON nội tiếp Vì AM là tiếp tuyến nên AM MO Do đó vuông tại M nên nội tiếp trong đường tròn đường kính AO Chứng minh tương tự ta được nội tiếp trong đường tròn đường kính AO Do đó 4 điểm A, O, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AO Vậy tứ giác AMON nội tiếp
b) Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính AO Chứng minh Chứng minh Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC
c) Chứng minh Chứng minh (vì NA=MA) Do đó $IM = 2IN \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{KN.MA}}{{KA}}}}{{\frac{{KM.MA}}{{KA}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{KN}}{{KM}} = \frac{1}{2}$ Vậy IM=2.IN khi cát tuyến ABC cắt MN tại K với $\frac{{KN}}{{KM}} = \frac{1}{2}$

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Gọi cái sân đó là hình vuông ABCD, phần nát gạch màu trang trí là hình vuông MNPQ

Chứng minh

Gọi AM = x thì MB = 8-x

Diện tích hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD là lớn nhất. Gọi S là tổng diện tích 4 tam giác đó, ta có:

S = 2. AM. AQ

Mà AM + AQ = AM + MB = 8 (m)

(AM – MB)2

AM2 + MB2

(AM + MB)2

= 32

Hay S

Dấu “=” xảy ra khi AM = MB =

Khi đó M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Vậy khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA thì hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.