Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 1

Tần số tương đối của mỗi nhóm là:

${f_1} = \frac{{5.100}}{{60}}\% = 8{,}3\%$;${f_2} = \frac{{8.100}}{{60}}\% = 13{,}4\%$;${f_3} = \frac{{12.100}}{{60}}\% = 20\%$;${f_4} = \frac{{20.100}}{{60}}\% = 33{,}3\%$;${f_5} = \frac{{15.100}}{{60}}\% = 25\%$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho là:

Có $A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }}$ $\left( {x > 0,x \ne 4} \right)$

Thay $x = 16$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ ta có:

$$A = \frac{{16 - 3}}{{\sqrt {16} }} = \frac{{13}}{4}$$

Vậy $A = \frac{{13}}{4}$ khi $x = 16$

Rút gọn $B$:

$$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}(x > 0,x \ne 4)$$

$$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt {x + 2} )}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt {x + 2} )}} + \frac{{4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt {x + 2} )}}$$

$$B = \frac{{x - 2\sqrt x + 4\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt {x + 2} )}}$$

$$B = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt {x + 2} )}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt {x + 2} )}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$ với $x > 0,x \ne 4$

Có $A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }}$ và $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}(x > 0,x \ne 4)$

$$P = A.B$$

$$P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$$

$$P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 2}}$$

Để $P \le 6$ thì $\frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 2}} \le 6$

$$\frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - 6 \le 0$$

$$\frac{{x - 3 - 6(\sqrt x - 2)}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$$

$$\frac{{x - 3 - 6\sqrt x + 12}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$$

$$\frac{{x - 6\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$$

$$\frac{{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$$

TH1: $\frac{{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} = 0$

$${\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} = 0$$

$$\sqrt x - 3 = 0$$

$$\sqrt x = 3$$

$x = 9$ (TMĐK)

TH2: $\frac{{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} < 0$

Mà ${\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} \ge 0,\forall x$ TMĐKXĐ

$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2} > 0}\\{\sqrt x - 2 < 0}\end{array}} \right.$$

$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sqrt x - 3 \ne 0}\\{\sqrt x < 2}\end{array}} \right.$$

$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sqrt x \ne 3}\\{x < 4}\end{array}} \right.$$

$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne 9}\\{x < 4}\end{array}} \right.$$

$\Rightarrow x < 4$ mà $x > 0,x \ne 4$ và $x$ là số nguyên $\Rightarrow x \in \{ 1;2;3\}$

Vậy để $P \le 6$ thì $x \in \{ 1;2;3;9\}$

Gọi giá tiền niêm yết của một cái bàn ủi:$x$ (ngàn đồng).

Gọi giá tiền niêm yết của một cái quạt điện là: $y$ (ngàn đồng).

Điều kiện: $0 < x < 850;\,\,0 < y < 850$.

Vì với tổng số tiền theo giá niêm yết là $850$ ngàn đồng nên ta có phương trình:

$x + y = 850$. (1)

Thực tế khi trả tiền:

+ Số tiền mà anh Bình được giảm khi mua một cái bàn ủi là: $10\% \,x = 0{,}1x$ (ngàn đồng).

+ Số tiền mà anh Bình được giảm khi mua một cái quạt điện là: $20\% \,y = 0{,}2y$ (ngàn đồng).

Vì anh Bình đã được giảm giá $125$ ngàn đồng khi mua $2$ sản phẩm trên nên ta có phương trình: $0{,}1\,x + 0{,}2\,y\, = 125$. $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 850\\0{,}1\,x + 0{,}2\,y\, = 125\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 400\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: $450\;.\;10\% = 45$ (ngàn).

Số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: $400\;.\;20\% = 80$ (ngàn).

Xe máy đi trước ô tô thời gian là: $6$ giờ $30$ phút - $6$ giờ $=$ $30$ phút $=$ $\frac{1}{2}h$.

Gọi vận tốc của xe máy là $x$ (km/h) $(x > 0)$

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy $15$ km/h nên vận tốc của ô tô là $x + 15$(km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: $\frac{{90}}{x}\,\,(h)$

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: $\frac{{90}}{{x + 15}}\,\,\,(h)$

Do xe máy đi trước ô tô $\frac{1}{2}$ giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình: $\frac{{90}}{x} - \frac{1}{2} = \frac{{90}}{{x + 15}}$

$$90.2.(x + 15) - x(x + 15) = 90.2x$$

$$180x + 2700 - {x^2} - 15x = 180x$$

$${x^2} + 15x - 2700 = 0$$

Ta có: $\Delta = {15^2} - 4.( - 2700) = 11025 > 0$; $\sqrt \Delta = \sqrt {11025} = 105$

${x_1} = \frac{{ - 15 - 105}}{2} = - 60$ (không thỏa mãn)

${x_2} = \frac{{ - 15 + 105}}{2} = 45$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của xe máy là $45$ (km/h), vận tốc của ô tô là $45 + 15 = 60$(km/h).

$2{x^2} - 4x + m = 0$ có nghiệm $x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}$ nên ta thay $x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}$ vào phương trình:

$$2{\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)^2} - 4.\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2} + m = 0$$

$$7 + 2\sqrt {10} - 4 - 2\sqrt {10} + m = 0$$

$$m = - 3$$

Phương trình: $2{x^2} - 4x - 3 = 0$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.$

Tổng nghịch đảo 2 nghiệm: $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_1}}} = \frac{2}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = \frac{{ - 4}}{3}$

Vì ống đồng hình trụ có $h = 5R$ nên: ${V_{ongdong}} = {S_d}.h$ $= \pi {R^2}h$ $= \pi {R^2}5R$ $= 5\pi {R^3}$

$\Rightarrow {R^3} = \frac{{{V_{ongdong}}}}{{5\pi }}$ $= \frac{{40\pi }}{{5\pi }}$ $= 8$

$\Rightarrow R = 2$$\Rightarrow h = 10\,\,{\rm{(cm)}}$

Vậy chiều cao của ống đồng là $10\,\,{\rm{(cm)}}$.

a) Gọi $I$ là trung điểm của $HB$$\Rightarrow HI = IB = \frac{{HB}}{2}$

Xét nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ có: $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta CHB$ vuông, mà $CI$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}$ (1)

Xét nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ có: $\widehat {HKB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta KHB$ vuông, mà $KI$ là đường trung tuyến.

$\Rightarrow IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\Rightarrow IC = IK = IH = IB$

$\Rightarrow$ Bốn điểm $C,{\rm{ }}B,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K$cùng thuộc một đường tròn.

b) Có $\widehat {MCA} = \widehat {MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn ); $\widehat {ACK} = \widehat {MBA}$ (tứ giác $CHKB$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {ACK}$

$\Rightarrow CA$ là phân giác $\widehat {MCK}$.

c) Theo giả thiết: $\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R$$\Rightarrow \frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}$

Xét $\Delta PAO$ và $\Delta AMB$ có: $\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}$; $\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ$

(c-g-c)

$\Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {MBA}$ (hai góc tương ứng)

$$\Rightarrow OP{\rm{ // B}}Q$$

Xét $\Delta ABQ$ có: $OP{\rm{ // B}}Q$, $O$là trung điểm của AB nên $P$là trung điểm của $AQ$.

Gọi $F$là giao điểm của $BP$ và $HK$.

Xét $\Delta ABP$có $FK{\rm{ // }}AP$nên $\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}$

Xét $\Delta QBP$có $FH{\rm{ // }}QP$nên $\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}$

Từ đó $HF = FK$suy ra $PB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng$HK$.

Gọi $a,b(cm)(a > 0,b > 0)$ là độ dài chiều dọc và chiều ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là $a + 6,b + 4.$

Ta có: $a.b = 384$ suy ra $b = \frac{{384}}{a}(1)$.

Diện tích trang sách là $S = (a + 6)(b + 4)$

Suy ra $S = 4a + \frac{{2304}}{a} + 408$.

Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có:

$S \ge 2\sqrt {4a.\frac{{2304}}{a}} + 408 = 600.$

Suy ra $MinS = 600$suy ra $4a = \frac{{2304}}{a}$suy ra $a = 24$

Suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu của trang giấy là$30cm,20cm$.