Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Từ Liêm 2 (Hà Nội) có đáp án

a) Dựa vào biểu đồ, số học sinh nam tham gia câu lạc bộ Toán là $18$ em và số học sinh nữ là $12$ em.

Tổng số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán là: $18 + 12 = 30$ (học sinh).

b) Số học sinh nữ tham gia câu lạc bộ Khoa học là: $16$ em.

Tổng số học sinh nữ của cả hai câu lạc bộ là: $12 + 16 = 28$ (học sinh).

Số học sinh nam tham gia câu lạc bộ Khoa học là: $14$ em.

Tổng số học sinh của câu lạc bộ Khoa học là: $14 + 16 = 30$ (học sinh).

Tổng số học sinh của cả hai câu lạc bộ là: $30 + 30 = 60$ (học sinh).

Tỉ lệ phần trăm số học sinh nữ trong tổng số học sinh là: $\frac{{28}}{{60}} \cdot 100\% \approx 46{,}67\%$.

Có 6 kết quả có thể xảy ra khi gieo một con xúc xắc là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do xúc xắc cân đối và đồng chất nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố số chấm xuất hiện ở mặt trên của xúc xắc là số lớn hơn 4 (đó là các số 5 và 6).

Do đó, xác suất của biến cố là $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

1. Thay $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $M$, ta được $M = \frac{{1 - 3}}{{1 - 2}} = 2$.

2. Với $x \ne 2;\,\,x \ne - 2;\,\,x \ne 3$, ta có:

$$N = \frac{{4{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} - \frac{{x + 2}}{{x - 2}}$$

$N = \frac{{4{x^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2} - {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$N = \frac{{4{x^2} - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$N = \frac{{2{x^2} - 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = 2$.

Từ đó, $A = N:M = 2:\frac{{x - 3}}{{x - 2}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x - 3}}$ (điều phải chứng minh).

3. Với $x \ne 2;\,\,x \ne - 2;\,\,x \ne 3$, ta có: $A = \frac{{2x - 6 + 2}}{{x - 3}} = 2 + \frac{2}{{x - 3}}$.

Để $A$ là số nguyên thì $\frac{2}{{x - 3}}$ phải là số nguyên, tức là $x - 3$ là ước của $2$.

Các ước của $2$ là $- 2,\,\, - 1,\,\,1,\,\,2$.

Ta có bảng:

Vậy $x \in \left\{ {1;\,\,4;\,\,5} \right\}$ thì $A$ nhận giá trị nguyên.

Gọi số sản phẩm tổ $I$ và tổ $II$ sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là $x$ và $y$ (sản phẩm)
Điều kiện: $x,y \in {\mathbb{N}^*};x,y < 800$.

Tháng đầu hai tổ sản xuất được $800$ sản phẩm, ta có phương trình:

$x + y = 800$ (1).

Tháng thứ hai, tổ $I$ vượt mức $20\%$ (đạt $120\% x$), tổ $II$ giảm $10\%$ (đạt $90\% y$) và cả hai tổ được $810$ sản phẩm nên ta có phương trình:

$1{,}2x + 0{,}9y = 810$ (2).

Từ (1) suy ra $y = 800 - x$, thế vào (2) ta được:

$1{,}2x + 0{,}9\left( {800 - x} \right) = 810$

$1{,}2x + 720 - 0{,}9x = 810$

$0{,}3x = 90$

$x = 300$ (thỏa mãn).

Suy ra $y = 800 - 300 = 500$ (thỏa mãn).

Vậy tháng đầu tổ $I$ sản xuất $300$ sản phẩm, tổ $II$ sản xuất $500$ sản phẩm.

a) Do đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2;\,\,6} \right)$ nên thay $x = 2,\,\,y = 6$ vào hàm số $y = ax - 4$, ta được:

$6 = a \cdot 2 - 4$ suy ra $2a = 10$ suy ra $a = 5$.

b) Đồ thị cắt đường thẳng $y = 2x - 1$ tại điểm có hoành độ bằng $2$.

Tung độ giao điểm là: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

Thay tọa độ $\left( {2;\,\,3} \right)$ vào hàm số $y = ax - 4$, ta được:

$3 = a \cdot 2 - 4$ suy ra $2a = 7$ suy ra $a = 3{,}5$.

a) Vì chóp $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $ABCD$ là hình vuông và $H$ là tâm của đáy.

Gọi $E$ là trung điểm của cạnh đáy $BC$.

Xét $\Delta ABD$ có $E$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trung điểm của $BD$, suy ra $EH$ là đường trung bình của tam giác suy ra: $HE = \frac{{BC}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12$ (cm).

Vì $SH$ là chiều cao của hình chóp nên $SH \bot \left( {ABCD} \right)$, suy ra $\Delta SHE$ vuông tại $H$.

Áp dụng định lý Pythagore trong $\Delta SHE$ vuông tại $H$, ta có:

$S{E^2} = S{H^2} + H{E^2} = {35^2} + {12^2} = 1225 + 144 = 1369$ suy ra $SE = \sqrt {1369} = 37$ (cm).

b) Diện tích xung quanh của chậu là:

${S_{xq}} = 4 \cdot \left( {\frac{1}{2}AB \cdot SE} \right) = 2 \cdot 24 \cdot 37 = 1776$ (cm$^{2}$) $= 0{,}1776$ (m$^{2}$).

Số tiền cần trả là: $0{,}1776 \cdot 120\,\,000 = 21\,\,312$ (đồng).

a) Do $BE$ và $CE$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $\widehat {HFB} = \widehat {HEC} = 90^\circ$.

Xét $\Delta FHB$ và $\Delta EHC$ có:

$\widehat {HFB} = \widehat {HEC} = 90^\circ$;

$\widehat {FHB} = \widehat {EHC}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $ΔFHB∽ΔEHC$ (g.g).

b) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$ có:

$\widehat {A\,\,}$ là góc chung;

$\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ$.

Suy ra $ΔABE∽ΔACF$ (g.g).

Do đó $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}$ hay $AF \cdot AB = AE \cdot AC$.

c)

⦁ Chứng minh $\widehat {CED} = \widehat {ABC}$

Từ $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}$ suy ra $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}$.

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:

$\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}$;

$\widehat {A\,\,}$ là góc chung.

Suy ra $ΔAEF∽ΔABC$ (c.g.c) suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$.

Vì $BM\,{\rm{//}}\,EF$ nên $\widehat {AMB} = \widehat {AEF}$ (hai góc đồng vị).

Vậy $\widehat {AMB} = \widehat {ABC}$ (1).

Xét $\Delta BEM$ vuông tại $E$, có $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BM$ (vì $I$ là trung điểm $BM$) nên $EI = IM$.

Do đó, $\Delta EIM$ cân tại $I$ suy ra $\widehat {IEM} = \widehat {IME}$ ($\widehat {IME}$ chính là $\widehat {AMB}$) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {IEM} = \widehat {ABC}$.

Mặt khác, $\widehat {IEM}$ chính là $\widehat {CED}$ (do tia $EM$ trùng với tia $EC$ và tia $EI$ trùng với tia $ED$).

Kết hợp lại ta được $\widehat {CED} = \widehat {ABC}$.

⦁ Chứng minh $A,\,\,H,\,\,D$ thẳng hàng

Gọi $D'$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ (suy ra $AD' \bot BC$).

Xét $\Delta ACD'$ (vuông tại $D'$) và $\Delta BCE$ (vuông tại $E$ do $BE \bot AC$) có:

$\widehat {C\,}$ là góc chung.

$\widehat {AD'C} = \widehat {BEC} = 90^\circ$.

Suy ra $ΔAC{D}^{'}∽ΔBCE$ (g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CD'}}{{CE}}$ suy ra $CD' \cdot CB = CE \cdot CA$ (3).

Từ câu c), ta đã có $ΔCDE∽ΔCAB$ suy ra $\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{CB}}$ suy ra $CD \cdot CB = CE \cdot CA$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $CD \cdot CB = CD' \cdot CB$

Vì $CB > 0$ nên $CD = CD'$.

Mặt khác, hai điểm $D$ và $D'$ đều nằm trên đường thẳng $BC$ nên điểm $D$ phải trùng với điểm $D'$ ($D \equiv D'$).

Do đó, $AD \bot BC$ (vì $AD' \bot BC$).

Mặt khác, $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ (giao điểm của hai đường cao $BE$ và $CF$), nên đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ bắt buộc phải đi qua $H$ (hay $AH \bot BC$).

Vì qua điểm $A$ chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với $BC$, nên hai đường thẳng $AD$ và $AH$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $A,\,\,H,\,\,D$ thẳng hàng (đpcm).

Gọi chiều ngang và chiều dọc của phần viết chữ lần lượt là $x,\,\,y$ (cm)$\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)$.

Diện tích phần viết chữ là $x \cdot y = 384$ (cm$^{2}$).

Chiều ngang của trang giấy là: $x + 2 + 2 = x + 4$ (cm)

Chiều dọc trang giấy là: $y + 3 + 3 = y + 6$ (cm).

Diện tích trang giấy là $S = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 6} \right) = xy + 6x + 4y + 24$.

Thay $xy = 384$ vào ta được $S = 384 + 24 + 6x + 4y = 408 + 6x + 4y$.

Để diện tích trang giấy nhỏ nhất, biểu thức $6x + 4y$ phải có giá trị nhỏ nhất.

Với $a > 0;\,\,b > 0$ ta luôn có:

${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$

${\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2\sqrt a \sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} \ge 0$

$a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0$

$a + b \ge 2\sqrt {ab}$

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\sqrt a - \sqrt b = 0$ suy ra $\sqrt a = \sqrt b$ suy ra $a = b$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $6x$ và $4y$, ta có:

$6x + 4y \ge 2\sqrt {6x \cdot 4y} = 2\sqrt {24xy} = 2\sqrt {24 \cdot 384} = 2\sqrt {9216} = 2 \cdot 96 = 192$.

Vậy $S \ge 408 + 192 = 600$. Dấu bằng xảy ra khi $6x = 4y$ suy ra $y = 1{,}5x$.

Thay vào phương trình:

$$xy = 384$$

$$x \cdot 1{,}5x = 384$$

$$1{,}5{x^2} = 384$$

$${x^2} = 256$$

$x = 16$ (thỏa mãn).

Khi đó $y = 24$ (thỏa mãn).

Vậy để diện tích trang giấy nhỏ nhất thì:

Chiều ngang trang giấy là $16 + 4 = 20$ (cm).

Chiều dọc trang giấy là: $24 + 6 = 30$ (cm).