Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Hồng Vân (Hà Nội) có đáp án

a) Tổng thời gian luyện tập trong tuần của mỗi bạn:

Bạn Trang: $80 + 90 + 50 + 80 + 120 + 100 + 60 = 580$ (phút).

Bạn Huy: $70 + 80 + 70 + 70 + 100 + 90 + 50 = 530$ (phút).

Bạn Trang luyện tập nhiều hơn bạn Huy:

$580 - 530 = 50$ (phút).

b) Tỉ số phần trăm giữa tổng thời gian của Huy và Trang:

$\frac{{530}}{{580}} \cdot 100\% \approx 91{,}38\%$

Số kết quả có thể xảy ra: $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 30.$ Các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Các quả bóng màu xanh được đánh số từ $11$ đến $30$.

Các số từ $11$ đến $30$ chia hết cho $3$ gồm: $\left\{ {12;\,\,15;\,\,18;\,\,21;\,\,24;\,\,27;\,\,30} \right\}$.

Do đó có $7$ kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố là: $P = \frac{7}{{30}}$.

Với $x \ne \pm 2;\,\,x \ne 4$:

1) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được:

$A = \frac{{2 \cdot 9 + 4}}{{9 - 4}} = \frac{{22}}{5}$

2) Với điều kiện $x \ne \pm 2;\,\,x \ne 4$:

$B = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}} - \frac{{4x}}{{{x^2} - 4}}$

$B = \frac{{x\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x - 2} \right) - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} + 2x - 2x + 4 - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}$.

3) Ta có: $M = A \cdot B = \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{x - 4}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{2x - 4}}{{x - 4}} = \frac{{2\left( {x - 4} \right) + 4}}{{x - 4}} = 2 + \frac{4}{{x - 4}}$.

Để $M$ nhận giá trị nguyên thì .

⦁ $x - 4 = 1$ suy ra $x = 5$ suy ra $M = 6$ (thỏa mãn là số tự nhiên)

⦁ $x - 4 = - 1$ suy ra $x = 3$ suy ra $M = - 2$ (loại vì không phải số tự nhiên)

⦁ $x - 4 = 2$ suy ra $x = 6$ suy ra $M = 4$ (thỏa mãn)

⦁ $x - 4 = - 2$ suy ra $x = 2$ (loại do điều kiện $x \ne 2$)

⦁ $x - 4 = 4$ suy ra $x = 8$ suy ra $M = 3$ (thỏa mãn)

⦁ $x - 4 = - 4$ suy ra $x = 0$ suy ra $M = 1$ (thỏa mãn)

Vậy các số nguyên $x$ thỏa mãn yêu cầu là: $x \in \left\{ {0;\,\,5;\,\,6;\,\,8} \right\}$.

Gọi vận tốc của xe đạp là $v$ (km/h, $v > 0$).

Vận tốc của xe máy là $v + 28$ (km/h).

Sau $3$ giờ hai xe gặp nhau, quãng đường đi được:

$3\left( {v + 28} \right) + 3v = 156$ suy ra $6v + 84 = 156$ suy ra $v = 12$.

Vậy vận tốc xe đạp là $12$ km/h, vận tốc xe máy là $12 + 28 = 40$ km/h.

Gọi số phút gọi nội mạng là $x$, ngoại mạng là $y$ $\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R},\,\,0 < x,\,\,y < 500} \right)$.

Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\1190x + 1390y = 635\,000\end{array} \right.$.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $1190$, ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1190x + 1190y = 595\,000}\\{1190x + 1390y = 635\,000}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất trong hệ, ta thu được:

$200y = 40\,000$ suy ra $y = 200$ (thỏa mãn).

Thay giá trị $y = 200$ vào phương trình $x + y = 500$, ta có:

$x + 200 = 500$ suy ra $x = 500 - 200 = 300$ (thỏa mãn).

Vậy cô Bình đã gọi $300$ phút nội mạng và $200$ phút ngoại mạng.

Từ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left( {x + 20} \right)\left( {y - 1} \right) = xy}\\{\left( {x - 10} \right)\left( {y + 1} \right) = xy}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}xy - x + 20y - 20 = xy\\xy + x - 10y - 10 = xy\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - x + 20y = 20\\x - 10y = 10\end{array} \right.$.

Cộng hai vế của hai phương trình, ta được:

$10y = 30$ suy ra $y = 30:10 = 3$.

Thay $y = 3$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$x = 10 + 10 \cdot 3 = 40$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {40;\,\,3} \right)$.

Ta có hình vẽ minh họa bài toán với $BH = 250$ m và $BA = 320$ m.

Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

$\cos \alpha = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{250}}{{320}} = \frac{{25}}{{32}}$ suy ra $\alpha \approx 38^\circ 37'$.

Vậy dòng nước đã đẩy chiếc thuyền lệch đi một góc khoảng $38^\circ 37'$ (hoặc $\approx 39^\circ$).

a) Xét ${\rm{\Delta }}DAH$ và ${\rm{\Delta }}HAC$ có:

$\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ$;

$\widehat {DAH} = \widehat {HAC}$ (góc chung).

Do đó $\text{Δ}DAH∽\text{Δ}HAC$ (g.g).

b) Xét $\Delta ADH$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ$;

$\widehat {AHD} = \widehat {ACH}$ (cùng phụ với $\widehat {DHC}$).

Do đó, $ΔADH∽ΔAHC$ (g.g) suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ suy ra $A{H^2} = AD \cdot AC$ (1).

Chứng minh tương tự, ta cũng có $A{H^2} = BH \cdot HC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AD \cdot AC = BH \cdot HC$.

c)

⦁ Chứng minh $I$ là trung điểm của $HD$:

Vì $HD \bot AC$ và $AB \bot AC$ nên $HD\,{\rm{//}}\,AB$. Do đó, $HI\,{\rm{//}}\,BO$ và $ID\,{\rm{//}}\,AO$.

Vì $HI\,{\rm{//}}\,BO$ nên . Do đó, $\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{HI}}{{BO}}$ (3).

Vì $ID\,{\rm{//}}\,AO$ nên . Do đó, $\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{ID}}{{OA}}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{HI}}{{BO}} = \frac{{ID}}{{OA}}$.

Lại có$O$ là trung điểm của $AB$ nên $OA = OB = \frac{1}{2}AB$. Do đó, $HI = ID$.

Mà $I \in HD$ nên $I$ là trung điểm của $HD$.

⦁ Chứng minh $B,K,D$ thẳng hàng:

Gọi $K'$ là giao điểm của $BD$ và $AH$. Vì $HD\,{\rm{//}}\,AB$ nên ta có:

suy ra $\frac{{K'H}}{{K'A}} = \frac{{HD}}{{AB}}$.

Mặt khác, $HI\,{\rm{//}}\,AO$, $H,\,\,K,\,\,A$ thẳng hàng và $I,\,\,K,\,\,O$ thẳng hàng nên:

suy ra $\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HI}}{{AO}}$.

Do $HI = \frac{{HD}}{2}$ và $AO = \frac{{AB}}{2}$, suy ra: $\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HD}}{{AB}} = \frac{{K'H}}{{K'A}}$.

Vì $K,\,\,K'$ cùng nằm trong đoạn $AH$, suy ra $K \equiv K'$. Vậy $B,\,\,K,\,\,D$ thẳng hàng.

Gọi số cây trồng thêm là $x$ cây $\left( {x \in \mathbb{N},\,\,x < 60} \right)$.

Tổng số cây sau khi trồng thêm là: $20 + x{\rm{\;(c\^a y)}}.$

Năng suất trung bình mỗi cây là:

Tổng sản lượng quả thu được trong năm:

$$S\left( x \right) = \left( {20 + x} \right)\left( {120 - 2x} \right)$$

$$S\left( x \right) = - 2{x^2} + 80x + 2400$$

$S\left( x \right) = - 2\left( {{x^2} - 40x + 400} \right) + 3200$

$S\left( x \right) = - 2{\left( {x - 20} \right)^2} + 3200$

Ta có: $- 2{\left( {x - 20} \right)^2} \le 0$ suy ra $- 2{\left( {x - 20} \right)^2} + 3200 \le 3200$ hay $S\left( x \right) \le 3200$.

Vậy tổng sản lượng quả lớn nhất là $3200$ quả.

Dấu bằng xảy ra khi $x - 20 = 0$ suy ra $x = 20$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy bác An nên trồng tổng cộng $20 + 20 = 40$ (cây) để thu được sản lượng quả lớn nhất.