Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Giảng Võ (Hà Nội) có đáp án

Chọn D.

Phương trình $12x - 5y = 4$ có dạng $ax + by = c$ suy ra $a = 12$, $b = - 5$, $c = 4$.

Chọn A.

Thay các cặp số vào vế trái $4x - 3y$:

Với cặp $\left( { - 1;\,\, - 1} \right)$, ta có: $4 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 4 + 3 = - 1 \ne 1$.

Chọn C.

Hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - y = 3}\\{x + y = 0}\end{array}} \right.$

Cộng hai phương trình ta được $3x = 3$ suy ra $x = 1$. Thay vào phương trình thứ hai suy ra $y = - 1$.

Chọn A.

Với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $\beta$ $\left( {\alpha + \beta = 90^\circ } \right)$, ta có $\sin \alpha = \cos \beta$.

1. Thay $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện $x \ne \pm 2$) vào $A = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}$, ta được:

$A = \frac{{{1^2} + 1}}{{1 - 2}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2$.

Vậy $A = - 2$ khi $x = 1$.

2. Với $x \ne - 2;\,\,x \ne 2$, ta có:

$B = \frac{1}{{x - 2}} + \frac{{3x - 2}}{{{x^2} - 4}} - \frac{2}{{x + 2}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right) + \left( {3x - 2} \right) - 2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 2 + 3x - 2 - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{2}{{x - 2}}$ (điều phải chứng minh).

3. $P = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}:\frac{2}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 1}}{2}$

$P = \frac{5}{8}$ suy ra $\frac{{{x^2} + 1}}{2} = \frac{5}{8}$

$4\left( {{x^2} + 1} \right) = 5$

${x^2} = \frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Gọi lượng than đội phải khai thác theo kế hoạch là $x$ (tấn, $x > 0$).

Thời gian theo kế hoạch là $\frac{x}{{40}}$ (ngày).

Thực tế mỗi ngày khai thác được $45$ tấn nên thời gian thực hiện là $\frac{x}{{45}}$ (ngày).

Vì hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = 2$

$\frac{x}{{360}} = 2$

$x = 720$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch, đội phải khai thác 720 tấn than.

Gọi giá niêm yết của một chiếc đèn lồng là $x$ (đồng) và một chiếc trống là $y$ (đồng), điều kiện $0 < x,\,\,y < 225000$.

Tổng giá niêm yết: $x + y = 225000$.

Sau khi giảm giá, giá đèn lồng là $\left( {1 - 20\% } \right)x = 0{,}8x$ và trống là $\left( {1 - 25\% } \right)y = 0{,}75y$.

Do đó, ta có phương trình:

$0{,}8x + 0{,}75y = 172000$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 225{\mkern 1mu} 000}\\{0{,}8x + 0{,}75y = 172{\mkern 1mu} 000}\end{array}} \right.$.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $0{,}75$, ta được:

$0{,}75x + 0{,}75y = 225000 \cdot 0{,}75$

$0{,}75x + 0{,}75y = 168750$.

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình vừa biến đổi, ta được:

$\left( {0{,}8x + 0{,}75y} \right) - \left( {0{,}75x + 0{,}75y} \right) = 172000 - 168750$

$0{,}05x = 3250$

$x = \frac{{3250}}{{0{,}05}}$

$x = 65000$ (thỏa mãn).

Thay $x = 65000$ vào phương trình $x + y = 225000$, ta có:

$65000 + y = 225000$ suy ra $y = 225000 - 65000$ suy ra $y = 160000$ (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của đèn lồng là $65\,\,000$ đồng, của trống là $160\,\,000$ đồng.

Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

$AC = AB \cdot \tan 31^\circ = 20 \cdot \tan 31^\circ \approx 20 \cdot 0{,}6009 \approx 12{\rm{\;m}}$.

Vậy chiều cao của cây là $12$ m.

a) Xét hai tam giác: ${\rm{\Delta }}AMH$ và ${\rm{\Delta }}AHB$ có:

$\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (do $HM \bot AB$ và $AH \bot BC$);

$\widehat {HAB}$ là góc chung (hay $\widehat {MAH} = \widehat {HAB}$).

Suy ra $\text{Δ}AMH∽\text{Δ}AHB$ (g.g)

b) ⦁ Chứng minh $AM \cdot AB = AN \cdot AC$:

Từ $\text{Δ}AMH∽\text{Δ}AHB$ suy ra $\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ suy ra $AM \cdot AB = A{H^2}$.

Chứng minh tương tự $\text{Δ}ANH∽\text{Δ}AHC$, ta cũng có: $AN \cdot AC = A{H^2}$.

Từ đó suy ra: $AM \cdot AB = AN \cdot AC$

⦁ Chứng minh $\widehat {AMN} = \widehat {ACB}$:

Từ hệ thức $AM \cdot AB = AN \cdot AC$ , ta có tỉ số: $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Xét ${\rm{\Delta }}AMN$ và ${\rm{\Delta }}ACB$ có:

$\widehat {BAC} = 90^\circ$ là góc chung;

$\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Do đó, $\text{Δ}AMN∽\text{Δ}ACB$ (c.g.c), do đó: $\widehat {AMN} = \widehat {ACB}$.

c) ⦁ Chứng minh $K{H^2} = KB \cdot KC$:

Ta có: $\widehat {AHC} = \widehat {AHN}$ (cùng phụ với $\widehat {NHC}$).

Tứ giác $AMHN$ có 3 góc vuông ($\widehat {A\,\,} = \widehat {M\,} = \widehat {N\,} = 90^\circ$) nên là hình chữ nhật.

Do đó, $\widehat {AMN} = \widehat {AHN}$ suy ra $\widehat {AHC} = \widehat {AMN}$.

Mà $\widehat {KMB} = \widehat {AMN}$ (hai góc đối đỉnh) suy ra $\widehat {AHC} = \widehat {KMB}$ hay $\widehat {KMB} = \widehat {KCN}$.

Xét ${\rm{\Delta }}KBM$ và ${\rm{\Delta }}KNC$ có:

$\widehat {K\,}$ chung;

$\widehat {KMB} = \widehat {KCN}$ (cùng bù với $\widehat {BMN}$).

Do đó, $\text{Δ}KBM∽\text{Δ}KNC$ suy ra $\frac{{KB}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KC}}$ hay $KM \cdot KN = KB \cdot KC$ (1).

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat {KHM} = \widehat {KNH}$

Xét ${\rm{\Delta }}KHM$ và ${\rm{\Delta }}KNH$ có:

$\widehat {K\,}$ là góc chung;

$\widehat {KHM} = \widehat {KNH}$.

Do đó, $\text{Δ}KHM∽\text{Δ}KNH$ suy ra $\frac{{KH}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KH}}$ suy ra $K{H^2} = KM \cdot KN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $K{H^2} = KB \cdot KC$.

⦁ Chứng minh $\frac{{KH}}{{KB}} = {\cot ^2}\widehat {AMN}$:

Vì $AB < AC$ nên điểm $K$ nằm về phía $B$, thứ tự các điểm trên đường thẳng $BC$ là $K - B - H - C$ .

Từ hệ thức $K{H^2} = KB \cdot KC$ , ta có tỉ lệ thức:

$\frac{{KH}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KH}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{KH}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KH}} = \frac{{KC - KH}}{{KH - KB}} = \frac{{HC}}{{HB}}$.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $A{C^2} = HC \cdot BC$ và $A{B^2} = HB \cdot BC$.

Từ đó suy ra: $\frac{{HC}}{{HB}} = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = {\cot ^2}\widehat {ACB}$.

Mà $\widehat {ACB} = \widehat {AMN}$ , do đó: $\frac{{KH}}{{KB}} = {\cot ^2}\widehat {AMN}$.

Áp dụng đồng nhất thức đại số, ta có:

$\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc$.

Theo đề bài, $\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = 2026$, nên:

$2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)$

Khi đó, mẫu số thứ nhất của biểu thức $T$ biến đổi thành:

${a^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = {a^2}\left( {a + b + c} \right) + \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + ab + bc + ca} \right)$

$= \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)$

Tương tự cho hai mẫu số còn lại:

${b^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)$

${c^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)$

Quy đồng mẫu thức chung $M = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)$, ta có:

$T = \frac{{\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{2}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

Thay giả thiết $\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 2026$ vào, ta được:

$T = \frac{2}{{2026}} = \frac{1}{{1013}}$.

*Chứng minh $\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc$:

Đặt tổng của ba số là $S = a + b + c$.

Từ đó biểu diễn từng nhân tử ở vế trái theo $S$, ta được:

$b + c = \left( {a + b + c} \right) - a = S - a$;

$c + a = \left( {a + b + c} \right) - b = S - b$;

$a + b = \left( {a + b + c} \right) - c = S - c$.

Khi đó, ${\rm{VT}} = \left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right)$.

Khai triển biểu thức VT ta được:

$\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right) = {S^3} - \left( {a + b + c} \right){S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc$.

Thay $S = a + b + c$ vào biểu thức vừa khai triển, ta được:

${S^3} - \left( {a + b + c} \right){S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc$

$= {S^3} - S \cdot {S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc$

$= \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc$.

$= \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc = {\rm{VP}}$.

Vậy $\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc$ (điều phải chứng minh).