Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Chu Văn An (Hà Nội) có đáp án

a) Số xe đạp cửa hàng $A$ bán được trong tháng 2 là $39$ chiếc.

b) Tổng số xe cửa hàng $A$ bán được trong 4 tháng là:

$43 + 39 + 41 + 39 = 162$ (chiếc).

Tổng số xe cửa hàng $B$ bán được trong 4 tháng là:

$40 + 42 + 42 + 44 = 168$ (chiếc).

Cửa hàng $B$ bán được nhiều hơn cửa hàng $A$ số xe là:

$168 - 162 = 6$ (chiếc).

Tổng số lần gieo xúc xắc là $100$ lần, do đó:

$x = 100 - \left( {20 + 15 + 10 + 30 + 12} \right) = 13$.

Biến cố $A$: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là số chẵn chia hết cho $3$”, biến cố này tương ứng với kết quả mặt $6$ chấm.

Số lần xuất hiện mặt $6$ chấm là $13$.

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{13}}{{100}} = 0{,}13$.

1. Thay $x = 6$ vào biểu thức $P$:

$P = \frac{{{6^2} - 16}}{2} = \frac{{36 - 16}}{2} = 10$.

Vậy giá trị của $P$ tại $x = 6$ là $10.$

2. Với $x \ne \pm 4$:

$Q = \frac{2}{{x + 4}} - \frac{{2x}}{{4 - x}} + \frac{{8 - 18x}}{{{x^2} - 16}}$

$Q = \frac{2}{{x + 4}} + \frac{{2x}}{{x - 4}} + \frac{{8 - 18x}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$

$Q = \frac{{2\left( {x - 4} \right) + 2x\left( {x + 4} \right) + 8 - 18x}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$

$Q = \frac{{2x - 8 + 2{x^2} + 8x + 8 - 18x}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$

$Q = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{2x}}{{x + 4}}$.

3. Ta có:

$P \cdot Q = \frac{{{x^2} - 16}}{2} \cdot \frac{{2x}}{{x + 4}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{2} \cdot \frac{{2x}}{{x + 4}} = x\left( {x - 4} \right) = {x^2} - 4x$.

Biểu thức $H$:

$H = P \cdot Q + 5 = {x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1$.

Vì ${\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \ne \pm 4$ nên ${\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0$.

Do đó $H$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x \ne \pm 4$.

Gọi vận tốc dự định của ô tô là $v$ (km/h), điều kiện $v > 5$.

Quãng đường ô tô đi trong 1 giờ đầu là $v$ (km).

Quãng đường ô tô đi trong 3 giờ tiếp theo là $3\left( {v - 5} \right)$ (km).

Theo bài ra ta có phương trình:

$v + 3\left( {v - 5} \right) = 225$

$4v - 15 = 225$

$4v = 240$

$v = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ô tô là $60$ km/h.

Nửa chu vi mảnh vườn là $60:2 = 30$ (m).

Gọi chiều dài ban đầu là $x$ (m), chiều rộng ban đầu là $y$ (km), điều kiện $0 < y < x < 30$.

Ta có phương trình: $x + y = 30$.

Khi tăng chiều dài thêm $5$ m và giảm chiều rộng đi $1$ m, diện tích tăng thêm $25{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$:

$\left( {x + 5} \right)\left( {y - 1} \right) - xy = 25$

$xy - x + 5y - 5 - xy = 25$

$- x + 5y = 30.$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 30}\\{ - x + 5y = 30}\end{array}} \right.$.

Cộng hai phương trình từng vế: $6y = 60$ suy ra $y = 10$ (thỏa mãn điều kiện).

Suy ra $x = 30 - 10 = 20$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy chiều dài ban đầu là $20{\rm{\;m}}$ và chiều rộng ban đầu là $10{\rm{\;m}}$.

Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - 1 = 5\left( {x + 2y} \right) + 8}\\{3\left( {x - 5y} \right) - 10 = x + 6}\end{array}} \right.$:

Cộng hai phương trình từng vế:

$- 25y = 25$ suy ra $y = - 1$.

Thay $y = - 1$ vào phương trình $2x - 15y = 16$:

$2x - 15 \cdot \left( { - 1} \right) = 16$ suy ra $2x = 1$ suy ra $x = \frac{1}{2}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\, - 1} \right)$.

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

$\tan 25^\circ = \frac{{BC}}{{AB}}$ suy ra $AB = \frac{{BC}}{{\tan 25^\circ }} = \frac{{50}}{{\tan 25^\circ }} \approx 107$ (m).

Vậy chiều rộng khúc sông xấp xỉ $107{\rm{\;m}}$.

b) Độ dài quãng đường thực tế con thuyền di chuyển là $AC$:

$AC = \frac{{BC}}{{\sin 25^\circ }} = \frac{{50}}{{\sin 25^\circ }} \approx 118{,}31$ (m).

Thời gian đi là $6$ phút.

Vận tốc thuyền di chuyển xấp xỉ:

$v = \frac{{118{,}31}}{6} \approx 20$ (m/phút).

a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5$ (cm).

$\tan \widehat {B\,} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{3}{4} = 0{,}75$ suy ra $\widehat {B\,} \approx 37^\circ$.

b) Xét ${\rm{\Delta }}HCA$ và ${\rm{\Delta }}ACB$, ta có:

$\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ$;

$\widehat {C\,}$ là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}HCA∽\text{Δ}ACB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ (1) suy ra $AC \cdot AC = CH \cdot BC$ hay $A{C^2} = CH \cdot BC$.

Xét ${\rm{\Delta }}AHB$ và ${\rm{\Delta }}CAB$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ$;

$\widehat {B\,}$ là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}AHB∽\text{Δ}CAB$ (g.g) suy ra $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AB}}$.

Vì $C$ là trung điểm của $AI$ nên $AC = CI$.

Vì $A$ là trung điểm của $DB$ nên $AB = AD$.

Suy ra $\frac{{CH}}{{CI}} = \frac{{AH}}{{AD}}$ hay $\frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{CI}}{{AD}}$.

Mặt khác: $\widehat {ICH} = 180^\circ - \widehat {ACB}$ và $\widehat {DAH} = 180^\circ - \widehat {HAB}$.

Do $\widehat {HAB} = \widehat {ACB}$ (cùng phụ với $\widehat {B\,}$) nên $\widehat {ICH} = \widehat {DAH}$.

Suy ra $\text{Δ}ICH∽\text{Δ}DAH$ (c.g.c)

c)

Do $CI \bot AB$ và $BF \bot AB$ nên $CI\,{\rm{//}}\,BF$.

Vì $C,\,\,H,\,\,B$ thẳng hàng và $I,\,\,H,\,\,F$ thẳng hàng nên $\text{Δ}HCI∽\text{Δ}HBF$ suy ra $\frac{{BF}}{{CI}} = \frac{{BH}}{{CH}}$.

Chứng minh tương tự câu b) ta được: $A{B^2} = BH \cdot BC{\rm{\;}}$ và $A{C^2} = CH \cdot BC$.

Suy ra $\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}$.

Kết hợp với $CI = AC$, ta được: $BF = CI \cdot \frac{{BH}}{{CH}} = AC \cdot \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{AC}}$.

Mặt khác, do $AD = AB$, $AI = 2AC$, $BD = 2AB$ nên:

$\frac{{AD}}{{BF}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{BD}}.$

Hai tam giác vuông $DAI$ và $FBD$ đồng dạng (c.g.c), suy ra $\widehat {ADI} = \widehat {BFD}.$

Vì tia $DA$ trùng tia $DB$, còn $I$ và $F$ nằm khác phía đối với đường thẳng $DB$:

$\widehat {IDF} = \widehat {ADI} + \widehat {BDF} = \widehat {BFD} + \widehat {BDF} = 90^\circ$

Vậy $ID \bot DF$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = 45^\circ$.

Vì $MNPQ$ là hình chữ nhật nên $MQ \bot BC$, $NP \bot BC$, $MN = QP$ và $MQ = NP$.

Tam giác $BMQ$ vuông tại $Q$ có $\widehat {B\,} = 45^\circ$ nên tam giác $BMQ$ vuông cân tại $Q$, suy ra $BQ = MQ$.

Tam giác $CNP$ vuông tại $P$ có $\widehat {C\,} = 45^\circ$ nên tam giác $CNP$ vuông cân tại $P$, suy ra $CP = NP.$

Đặt độ dài $MQ = NP = x$ với $0 < x < 10$.

Khi đó $BQ = CP = x$.

Độ dài cạnh $QP$ trên $BC$ là:

$QP = BC - BQ - CP = 20 - 2x.$

Diện tích nền nhà $MNPQ$ là:

$S = MQ \cdot QP = x\left( {20 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 20x = - 2{\left( {x - 5} \right)^2} + 50.$

Ta có: ${\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0$ suy ra $- 2{\left( {x - 5} \right)^2} \le 0$ suy ra $- 2{\left( {x - 5} \right)^2} + 50 \le 50$.

Do đó, $S \le 50$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x = 5$.

Khi đó các điểm $Q$ và $P$ được xác định trên cạnh $BC$ sao cho $BQ = CP = 5$ (với $Q$ nằm giữa $B$ và $P$).

Diện tích nền nhà lớn nhất là $50$ m$^{2}$.