Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Từ Liêm 1 (Hà Nội) có đáp án

Với $x \ne 1;\,\,x \ne - 1$:

1. Thay $x = 5$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được:

$A = \frac{{5 \cdot 5 - 3}}{{5 - 1}} = \frac{{22}}{4} = \frac{{11}}{2}$.

Vậy $A = \frac{{11}}{2}$ khi $x = 5$.

2. Rút gọn biểu thức $B$ với $x \ne \pm 1$:

$B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x + 1}}$

$B = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2x - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} + x - 2x - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$.

3. Ta có: $P = A \cdot B = \frac{{5x - 3}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{5x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{5\left( {x + 1} \right) - 8}}{{x + 1}} = 5 - \frac{8}{{x + 1}}$ (với $x \ne \pm 1$).

Để $P$ nhận giá trị nguyên khi $x$ nguyên thì $x + 1$ phải là ước của $8$.

Suy ra $x + 1 \in \left\{ { - 8;\,\, - 4;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}$.

Nếu $x + 1 = 1$ suy ra $x = 0$ (thỏa mãn), khi đó $P = 5 - 8 = - 3$.

Nếu $x + 1 = 2$ suy ra $x = 1$ (loại).

Nếu $x + 1 = 4$ suy ra $x = 3$ (thỏa mãn), khi đó $P = 5 - 2 = 3$.

Nếu $x + 1 = 8$ suy ra $x = 7$ (thỏa mãn), khi đó $P = 5 - 1 = 4$.

Với các trường hợp $x + 1 < 0$, phân thức $- \frac{8}{{x + 1}} > 0$ nên $P = 5 - \frac{8}{{x + 1}} > 5$.

So sánh các giá trị nguyên nhận được của $P$, giá trị nhỏ nhất là $- 3$.

Vậy $x = 0$ thì $P$ nhận giá trị nguyên nhỏ nhất là $- 3$.

a) $5x - 15 = 4x + 39$

$5x - 4x = 39 + 15$

$x = 54$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 54$.

b) $\frac{{2x - 5}}{6} - x + 2 = \frac{{5x - 3}}{3} - \frac{{6x - 7}}{4}$

$$\frac{{2\left( {2x - 5} \right)}}{{12}} - \frac{{12\left( {x + 2} \right)}}{{24}} = \frac{{4\left( {5x - 3} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {6x - 7} \right)}}{{12}}$$

$2\left( {2x - 5} \right) - 12x + 24 = 4\left( {5x - 3} \right) - 3\left( {6x - 7} \right)$

$4x - 10 - 12x + 24 = 20x - 12 - 18x + 21$

$- 8x + 14 = 2x + 9$

$10x = 5$

$x = \frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{2}$.

a) Từ phương trình thứ nhất suy ra $x = y + 3$, thay vào phương trình thứ hai ta được:

$3\left( {y + 3} \right) - 4y = 2$ suy ra $- y = - 7$ suy ra $y = 7$.

Thay $y = 7$ vào $x = y + 3$ ta được $x = 7 + 3 = 10$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {10;\,\,7} \right)$.

b) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3\left( {x + 2y} \right) - 2y = 7}\\{2\left( {x + 4y} \right) - 10 = - x + 1}\end{array}} \right.$

Thu gọn hệ phương trình ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 4y = 7}\\{3x + 8y = 11}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế hai phương trình ta có:

$4y = 4$ suy ra $y = 1$.

Thay $y = 1$ vào phương trình thứ nhất ta được:

$3x + 4 = 7$ suy ra $x = 1$.

Hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)$.

Đổi $1$ giờ $40$ phút $= \frac{5}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc của xe đạp là $x$ (km/h), điều kiện $x > 0$.

Vận tốc của xe máy là $x + 15$ (km/h).

Sau $\frac{5}{3}$ giờ hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được là $85$ km.

Do đó ta có phương trình:

$\frac{5}{3}\left( {x + x + 15} \right) = 85$

$2x + 15 = 51$

$2x = 36$

$x = 18$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc của xe đạp là $18$ km/h, vận tốc của xe máy là $18 + 5 = 33$ km/h.

Gọi giá bán của mỗi chiếc bút là $x$ (nghìn đồng) và của mỗi quyển vở là $y$ (nghìn đồng), điều kiện $x > 0,\,\,y > 0$.

Bạn An mua $3$ chiếc bút và $8$ quyển vở với tổng số tiền $172$ nghìn đồng nên ta có:

$3x + 8y = 172$.

Bạn Hải mua $6$ chiếc bút và $7$ quyển vở với tổng số tiền $164$ nghìn đồng nên ta có:

$6x + 7y = 164$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 8y = 172}\\{6x + 7y = 164}\end{array}} \right.$.

Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình mới là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{6x + 16y = 344}\\{6x + 7y = 164}\end{array}} \right.$.

Trừ vế theo vế ta được:

$9y = 180$ suy ra $y = 180:9 = 20$ (thỏa mãn).

Thay $y = 20$ vào phương trình $3x + 8y = 172$, ta được:

$3x + 8 \cdot 20 = 172$ suy ra $3x + 160 = 172$ suy ra $3x = 12$ suy ra $x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy giá bán của mỗi chiếc bút là $4$ nghìn đồng, giá bán của mỗi quyển vở là $20$ nghìn đồng.

Gọi chiều dài của thang là đoạn thẳng $AB = 2{,}5{\rm{ m}}$.

Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là đoạn thẳng $BC = 1{,}1{\rm{ m}}$.

Góc nghiêng tạo bởi thang và mặt đất là góc $\widehat {ABC}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

$\cos \widehat {ABC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1{,}1}}{{2{,}5}} = 0{,}44$ suy ra $\widehat {ABC} \approx 63^\circ 54'$.

Vì $60^\circ < 63^\circ 54' < 75^\circ$ nên thang được đặt đảm bảo an toàn.

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9$ cm.

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CAB$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ$;

$\widehat {B\,}$ là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHB∽\text{Δ}CAB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}}$ suy ra $AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7{,}2$ cm.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = 0{,}8$ suy ra $\widehat {ABC} \approx 53^\circ 8'$.

b) Xét ${\rm{\Delta }}AHC$ và ${\rm{\Delta }}BAC$ có:

$\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ$;

$\widehat {C\,}$ là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHC∽\text{Δ}BAC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}$ suy ra $A{C^2} = CH \cdot CB$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

$AH = AB \cdot \sin B$.

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$, áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

$AH = AC \cdot \sin C$.

Từ đó suy ra $AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C$.

c)

Do $AH \bot BC$ nên góc $\widehat {AHB} = 90^\circ$.

Vì $HD$ là tia phân giác của góc $\widehat {AHB}$ nên $\widehat {AHD} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

Xét $\Delta HED$ vuông tại $E$, có $\widehat {EHD} = 45^\circ$ nên $\Delta HED$ vuông cân tại $E$.

Suy ra $ED = EH$ và $DH = \sqrt {E{D^2} + E{H^2}} = ED\sqrt 2$ suy ra $\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{ED}}$.

Ta có đường thẳng $DE \bot AH$ và đường thẳng $BH \bot AH$ nên $DE\,{\rm{//}}\,BH$.

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác $ABH$ với $DE\,{\rm{//}}\,BH$ ta có: $\frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AE}}{{AH}}$.

Mặt khác, do $DE = EH$ nên: $\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{EH}}{{AH}}$.

Cộng từng vế hai đẳng thức ta được:

$\frac{{DE}}{{AH}} + \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{EH}}{{AH}} + \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AH}} = 1$.

Chia cả hai vế cho $DE$ ta được: $\frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}} = \frac{1}{{ED}}$.

Do đó: $\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}}$ (1).

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

$\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}$ suy ra $AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH}$.

$\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}$ suy ra $BH = AB \cdot \cos \widehat {ABH}$.

Thay vào (1) ta được: $\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {BAH}}} + \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {ABH}}}$.

Đổi $1{,}2$ tỷ đồng $= 1200$ triệu đồng.

Gọi số tiền gốc ban đầu gửi vào ngân hàng $A$ là $u$ (triệu đồng), vào ngân hàng $B$ là $v$ (triệu đồng), điều kiện $0 < u < 1200,\,\,0 < v < 1200$.

Tổng số tiền gửi ban đầu là: $u + v = 1200$.

Theo đề bài, nếu gửi toàn bộ $1200$ triệu đồng vào ngân hàng $A$ thì tiền lãi nhiều hơn gửi vào ngân hàng $B$ là $12$ triệu đồng nên ta có phương trình.

$1200 \cdot \frac{x}{{100}} - 1200 \cdot \frac{y}{{100}} = 12$ suy ra $12\left( {x - y} \right) = 12$ suy ra $x - y = 1$ (1).

Tiền lãi thực tế sau một năm thu được từ hai ngân hàng là $80$ triệu đồng nên ta có:

$u \cdot \frac{x}{{100}} + v \cdot \frac{y}{{100}} = 80$ suy ra $ux + vy = 8000$.

Nếu hoán đổi số tiền gửi ban đầu, tiền lãi thu được là $76$ triệu đồng nên ta có:

$v \cdot \frac{x}{{100}} + u \cdot \frac{y}{{100}} = 76$ suy ra $vx + uy = 7600$.

Cộng vế theo vế hai phương trình tiền lãi ta được:

$\left( {ux + vy} \right) + \left( {vx + uy} \right) = 8000 + 7600$

$\left( {u + v} \right)\left( {x + y} \right) = 15600$.

Thay $u + v = 1200$ vào phương trình $\left( {u + v} \right)\left( {x + y} \right) = 15600$ ta được:

$1200\left( {x + y} \right) = 15600$ suy ra $x + y = 13$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 13}\\{x - y = 1}\end{array}} \right.$.

Trừ vế theo vế của hai phương trình ta được: $2y = 12$ suy ra $y = 6$.

Thay $y = 6$ vào phương trình $x - y = 1$ ta được: $x - 6 = 1$ suy ra $x = 1 + 6 = 7$.

Trừ hai phương trình tiền lãi ta được:

$\left( {ux + vy} \right) - \left( {vx + uy} \right) = 8000 - 7600$

$\left( {u - v} \right)\left( {x - y} \right) = 400$.

Vì $x - y = 1$ nên $u - v = 400$.

Từ hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u + v = 1200}\\{u - v = 400}\end{array}} \right.$.

Giải tương tự ta được $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u = 800}\\{v = 400}\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy lãi suất của ngân hàng $A$ là $7\% /$năm, của ngân hàng $B$ là $6\% /$năm.

Số tiền gốc ban đầu gửi vào ngân hàng $A$ là $800$ triệu đồng, vào ngân hàng $B$ là $400$ triệu đồng.