Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Thanh Xuân (Hà Nội) có đáp án

a) Những nước có tăng trưởng GDP năm 2025 dưới $5\%$ là: Singapore $\left( {4{,}8\% } \right),$ Philippines $\left( {4{,}4\% } \right),$ Thái Lan $\left( {2{,}4\% } \right).$

b) Những nước có tăng trưởng GDP năm 2025 thấp hơn năm 2024 là: Philippines $\left( {4{,}4\% < 5{,}6\% } \right),$ Thái Lan $\left( {2{,}4\% < 2{,}9\% } \right).$

Tổng số lần tung: $40 + 30 + 33 + 27 + 31 + 39 = 200$.

Mặt xuất hiện không nhỏ hơn $4$ là mặt $4{,}5$ hoặc $6$ chấm, số lần xảy ra: $27 + 31 + 39 = 97$.

Xác suất thực nghiệm của biến cố A là: $\frac{{97}}{{200}} = 0{,}485$.

a) Với $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện), ta có:

$A = \frac{{\frac{1}{4} - 3}}{{\frac{1}{{16}} + 1}} = \frac{{\frac{{ - 11}}{4}}}{{\frac{{17}}{{16}}}} = \frac{{ - 11}}{4} \cdot \frac{{16}}{{17}} = \frac{{ - 44}}{{17}}$.

b) Với $x \ne 3$ và $x \ne - 3$, ta có:

$B = \frac{{3\left( {x + 3} \right) + 9x - 9 + 2x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{3x + 9 + 9x - 9 + 2{x^2} - 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{2{x^2} + 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x}}{{x - 3}}.$

c) Với $x \ne 3$ và $x \ne - 3$, ta có: $P = A \cdot B = \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{2x}}{{x - 3}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}$.

Để $P \le - 1$, ta có: $\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + 1 \le 0$

Hay $\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} \le 0$

Suy ra $\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 0$.

Vì ${x^2} + 1 > 0$ và ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$, nên để bất phương trình xảy ra thì ${\left( {x + 1} \right)^2} = 0$, từ đó $x = - 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x = - 1$.

Gọi $n$ là số tháng Mai tiết kiệm sau ngày 31/12/2025 $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Số tiền Mai có sau $n$ tháng là: $800 + 40n$ (nghìn đồng).

Để mua được xe đạp thì $800 + 40n \ge 1000$

Hay $40n \ge 200$, do đó $n \ge 5$.

Vậy sau ít nhất $5$ tháng Mai có thể mua được chiếc xe đạp đó.

Gọi quãng đường từ nhà đến cơ quan là $x$ (km), điều kiện $x > 0$.

Thời gian dự định đi là $\frac{x}{{12}}$ (giờ).

Thời gian đi xe đạp $\frac{1}{3}$ quãng đường là $\frac{x}{3}:12 = \frac{x}{{36}}$ (giờ).

Thời gian đi ô tô quãng đường còn lại là $\frac{{2x}}{3}:36 = \frac{x}{{54}}$ (giờ).

Thời gian chờ ô tô là $20$ phút = $\frac{1}{3}$ giờ; người đó đến sớm hơn dự định $1$ giờ $40$ phút = $\frac{5}{3}$ giờ.

Ta có phương trình: $\frac{x}{{12}} - \left( {\frac{x}{{36}} + \frac{1}{3} + \frac{x}{{54}}} \right) = \frac{5}{3}$.

Giải phương trình:

$\frac{x}{{12}} - \left( {\frac{x}{{36}} + \frac{1}{3} + \frac{x}{{54}}} \right) = \frac{5}{3}$

$\frac{{9x - 3x - 2x}}{{108}} = 2$

$\frac{{4x}}{{108}} = 2$

$x = 54$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường từ nhà đến cơ quan là $54$ km.

Thời gian thực tế người đó đi là: $\frac{{54}}{{12}} - \frac{5}{3} = \frac{9}{2} - \frac{5}{3} = \frac{{17}}{6}$ giờ = $2$ giờ $50$ phút.

Điều kiện xác định: $x \ne 1$, $x \ne - 1$.

$\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{x}{{x + 1}} = 1$

$\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

$2{x^2} + 3x + 1 - {x^2} + x = {x^2} - 1$

$4x = - 2$

$x = \frac{{ - 1}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{{ - 1}}{2}$.

a) Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $AH = 6$ km, $\widehat {ABH} = 4^\circ$.

Ta có $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$, suy ra $AB = \frac{{AH}}{{\sin 4^\circ }} = \frac{6}{{\sin 4^\circ }} \approx 86$ (km).

Vậy quãng đường hạ cánh $AB$ dài khoảng $86$ km.

b) Quãng đường từ $B$ đến khu vực trả khách là $100 - AB = 100 - \frac{6}{{\sin 4^\circ }} \approx 13{,}99$ (km).

Thời gian máy bay đi từ $B$ đến khu vực trả khách là: $\frac{{13{,}99}}{{30}} \cdot 60 \approx 27{,}97$ (phút).

Vậy hành khách phải chờ khoảng $28$ phút.

a) Vì $E$ thuộc $XC$ nên $\widehat {BXE} = 90^\circ$, $XF \bot BE$ tại $F$.

Xét $\Delta EFX$ và $\Delta EXB$ có: $\widehat {EFX} = \widehat {EXB} = 90^\circ$, $\widehat {XEB}$ chung.

Do đó $ΔEFX∽ΔEXB$ (g.g), suy ra $\frac{{EF}}{{EX}} = \frac{{EX}}{{EB}}$, từ đó $E{X^2} = EF \cdot EB$.

b) Vì $E$ là trung điểm của $XC$ nên $EC = EX$, suy ra $E{C^2} = EF \cdot EB$, do đó $\frac{{EF}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}}$.

Xét $\Delta EFC$ và $\Delta ECB$ có: $\frac{{EF}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}}$ và $\widehat {CEB}$ chung.

Do đó $ΔEFC∽ΔECB$ (c.g.c), suy ra $\widehat {EFC} = \widehat {ECB}$ (1).

Xét $\Delta BDX$ và $\Delta BXC$ có: $\widehat {BDX} = \widehat {BXC} = 90^\circ$, $\widehat {XBC}$ chung.

Do đó $ΔBDX∽ΔBXC$ (g.g), suy ra $\frac{{BD}}{{BX}} = \frac{{BX}}{{BC}}$, từ đó $B{X^2} = BD \cdot BC$.

Xét $\Delta BFX$ và $\Delta BXE$ có: $\widehat {BFX} = \widehat {BXE} = 90^\circ$, $\widehat {XBE}$ chung.

Do đó $ΔBFX∽ΔBXE$ (g.g), suy ra $\frac{{BF}}{{BX}} = \frac{{BX}}{{BE}}$, từ đó $B{X^2} = BF \cdot BE$.

Suy ra $BD \cdot BC = BF \cdot BE$, do đó $\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}$.

Xét $\Delta BDF$ và $\Delta BEC$ có: $\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ và $\widehat {EBC}$ chung.

Do đó $ΔBDF∽ΔBEC$ (c.g.c), suy ra $\widehat {BFD} = \widehat {BCE}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {BFD} = \widehat {EFC}$.

Vì $FG \bot BE$ nên $\widehat {BFG} = \widehat {GFE} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {DFG} = \widehat {BFG} - \widehat {BFD} = 90^\circ - \widehat {BFD}$

Và $\widehat {GFC} = \widehat {GFE} - \widehat {EFC} = 90^\circ - \widehat {EFC}$

Suy ra $\widehat {DFG} = \widehat {GFC}$.

Vậy $FG$ là tia phân giác của $\widehat {DFC}$.

c) Tam giác $XDC$ có $E,M$ lần lượt là trung điểm của $XC,DC$ nên $EM$ là đường trung bình, suy ra $EM\,{\rm{//}}\,XD$.

Do đó $\widehat {CEN} = \widehat {CXD}$ (đồng vị), mà $\widehat {CXD} = \widehat {XBC}$ (cùng phụ $\widehat {XCB}$) nên $\widehat {CEN} = \widehat {XBC}$.

$\Delta ECN$ vuông tại $C$ có $CN = EC \cdot \tan \widehat {CEN} = EC \cdot \tan \widehat {XBC} = EC \cdot \frac{{XC}}{{XB}}$.

$\Delta XCN$ vuông tại $C$ có $\tan \widehat {CXN} = \frac{{CN}}{{XC}} = \frac{{EC}}{{XB}} = \frac{{XE}}{{XB}} = \tan \widehat {XBE}$, suy ra $\widehat {CXN} = \widehat {XBE}$.

Mà $\widehat {XBE} + \widehat {XEB} = 90^\circ$ nên $\widehat {CXN} + \widehat {XEB} = 90^\circ$, suy ra $XN \bot BE$.

Lại có $XG \bot BE$, mà qua $X$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $BE$ nên $XN$ và $XG$ trùng nhau.

Vậy $X,G,N$ thẳng hàng.

Gọi diện tích vải may áo và may mũ lần lượt là $100x$ (m$^{2}$) và $100y$ (m$^{2}$) với $x \ge 0,y \ge 0$.

Vì tổng diện tích vải là $800$ m$^{2}$ nên $100x + 100y = 800$, suy ra $x + y = 8$, do đó $y = 8 - x$ (với $0 \le x \le 8$).

Tổng số công là $10x + 15y$, theo đề bài ta có:

$10x + 15y \le 90$, suy ra $10x + 15\left( {8 - x} \right) \le 90$

Hay $120 - 5x \le 90$, từ đó $x \ge 6$.

Tiền lãi thu được là $L = 7x + 9y = 7x + 9\left( {8 - x} \right) = 72 - 2x$ (triệu đồng).

Vì $x \ge 6$ nên $L \le 72 - 2 \cdot 6 = 60$. Dấu bằng xảy ra khi $x = 6,y = 2$.

Vậy cần may áo với $600$ m² vải và may mũ với $200$ m$^{2}$ vải thì thu được tiền lãi cao nhất là $60$ triệu đồng.