Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Nghĩa Tân (Hà Nội) có đáp án

a) Số tiền quyên góp được trong tuần đầu tiên của tháng 9 là $35$ triệu đồng.

b) Tổng số tiền quyên góp được trong cả bốn tuần là $35 + 70 + 50 + 48 = 203$ (triệu đồng).

Tỉ lệ phần trăm số tiền quyên góp được trong tuần thứ hai so với tổng số tiền là

$\frac{{70}}{{203}} \cdot 100\% \approx 34{,}48\%$.

Có $20$ kết quả có thể, các kết quả này là đồng khả năng.

Các số chính phương trong các số từ $1$ đến $20$ là $1;{\mkern 1mu} \,4;{\mkern 1mu} \,9;{\mkern 1mu} \,16$ nên có $4$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $\frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}$.

1) Với $x = \frac{2}{3}$ (thỏa mãn điều kiện), ta có $A = \frac{2}{{\frac{2}{3} + 2}} = \frac{2}{{\frac{8}{3}}} = \frac{3}{4}$.

2) Với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$, ta có:

$B = \frac{x}{{x + 2}} - \frac{2}{{x - 2}} + \frac{8}{{{x^2} - 4}}$

$= \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{8}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - 2x - 2x - 4 + 8}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}$.

3) Với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$, ta có:

$P = A + B = \frac{2}{{x + 2}} + \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{x}{{x + 2}} = 1 - \frac{2}{{x + 2}}$.

$P$ nhận giá trị nguyên khi $\frac{2}{{x + 2}}$ là số nguyên, tức là $x + 2$ là ước của $2$.

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x + 2 \ge 2$, do đó $x + 2 = 2$, suy ra $x = 0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x = 0$.

Gọi số quyển vở ô ly và vở kẻ ngang bạn học sinh đã mua lần lượt là $x$ và $y$ (quyển), $x,y \in {\mathbb{N}^*},$ $x,y < 20$.

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 20}\\{10x + 6y = 160}\end{array}} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất suy ra $y = 20 - x$, thay vào phương trình thứ hai:

$10x + 6\left( {20 - x} \right) = 160$ nên $4x = 40$ suy ra $x = 10$, do đó $y = 10$ (thỏa mãn).

Vậy bạn học sinh đã mua $10$ quyển vở ô ly và $10$ quyển vở kẻ ngang.

Gọi số cú ném $2$ điểm và số cú ném $3$ điểm cầu thủ thực hiện thành công lần lượt là $x$ và $y$ (cú), $x,y \in \mathbb{N}$, $x,y \le 27$.

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 27}\\{2x + 3y = 67}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $2$ rồi trừ vế theo vế cho phương trình thứ hai, ta được

$y = 67 - 54 = 13$, suy ra $x = 27 - 13 = 14$ (thỏa mãn).

Vậy cầu thủ đã thực hiện thành công $14$ cú ném $2$ điểm và $13$ cú ném $3$ điểm.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên

$BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} = 1200 \cdot \tan 60^\circ = 1200\sqrt 3 \approx 2078$ (m).

Vậy khoảng cách từ điểm $C$ đến điểm $B$ khoảng $2078$ m.

b) Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên

$BD=AB\cdot \tan \widehat{BAD}=1200\cdot \tan {70}^{^{\circ}}\approx 3296{,}97$ (m).

Vì $B,C,D$ thẳng hàng theo thứ tự đó nên

$CD = BD - BC \approx 3296{,}97 - 2078{,}46 \approx 1219$ (m).

Vậy chiều dài cây cầu $CD$ khoảng $1219$ m.

a) Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HCA$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ$ và $\widehat {HAB} = \widehat {HCA}$ (cùng phụ với $\widehat {ABC}$).

Do đó $ΔHAB∽ΔHCA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}$, hay $H{A^2} = HB.HC$.

b) Xét $\Delta CHA$ và $\Delta CAB$ có:

$\widehat C$ là góc chung và $\widehat {CHA} = \widehat {CAB} = 90^\circ$.

Do đó $ΔCHA∽ΔCAB$ (g.g)

Suy ra $\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{{CA}}{{CB}}$, hay $C{A^2} = CH.CB$.

Vì $M$ thuộc tia đối của tia $AC$ và $MA = AC$ nên $A$ là trung điểm của $MC$, suy ra $MC = 2AC.$

Do đó $M{C^2} = 4A{C^2} = 4CH.CB$.

c) Vì $A$ là trung điểm của $MC$ nên $CM = 2CA$.

Vì $B$ là trung điểm của $AN$ nên $AN = 2AB$.

Từ câu a) $ΔHAB∽ΔHCA$ suy ra $\frac{{HC}}{{HA}} = \frac{{CA}}{{AB}}$ và $\widehat {HCA} = \widehat {HAB}$.

Suy ra $\frac{{HC}}{{HA}} = \frac{{2CA}}{{2AB}} = \frac{{CM}}{{AN}}$ và $\widehat {HCM} = \widehat {HAN}$ (vì $\widehat {HCM} = \widehat {HCA}$, $\widehat {HAN} = \widehat {HAB}$).

Xét $\Delta HCM$ và $\Delta HAN$ có:

$\frac{{HC}}{{HA}} = \frac{{CM}}{{AN}}$; $\widehat {HCM} = \widehat {HAN}$.

Do đó $ΔHCM∽ΔHAN$ (c.g.c), suy ra $\widehat {CHM} = \widehat {AHN}$.

Ta có $\widehat {MHN} = \widehat {AHN} - \widehat {AHM} = \widehat {CHM} - \widehat {AHM} = \widehat {CHA} = 90^\circ$.

Vậy $MH \bot NH$.

Gọi số học sinh đăng ký thêm (vượt mốc $20$ học sinh) là $x$ (học sinh), $x \in \mathbb{N}$, $0 \le x \le 40$.

Khi đó số học sinh đăng ký là $20 + x$, học phí mỗi học sinh là $1200 - 10x$ (nghìn đồng).

Doanh thu của trung tâm là

$T = \left( {20 + x} \right)\left( {1200 - 10x} \right) = - 10{x^2} + 1000x + 24000 = - 10{\left( {x - 50} \right)^2} + 49000$ (nghìn đồng).

Vì $0 \le x \le 40$ nên $x - 50 \le - 10 < 0$

Suy ra ${\left( {x - 50} \right)^2} \ge 100$, do đó $T \le - 10 \cdot 100 + 49000 = 48000$.

Dấu bằng xảy ra khi $x = 40$, tức là có $20 + 40 = 60$ học sinh đăng ký.

Vậy trung tâm cần có $60$ học sinh đăng ký để doanh thu đạt lớn nhất, khi đó doanh thu cao nhất là $48000$ nghìn đồng.