Đề kiểm tra Xác suất có điều kiện lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( {A\left| B \right.} \right) = P\left( A \right) = 0{,}2024$

Chọn A

Ta có $P\left( {A \cap \overline B } \right) + P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap \overline B } \right) = 0{,}8 - 0{,}55 = 0{,}25$

Chọn C

Gọi $A$ là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt $4$chấm”

Gọi $B$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên $2$con xác xắc bằng $6$”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt $4$chấm thì lần thứ hai xuất hiện $2$chấm thì tổng hai lần xuất hiện là $6$chấm thì $P\left( {B\left| A \right.} \right) = \frac{1}{6}$

Gọi $A$ là biến cố “gọi được sinh viên nữ”

Gọi $B$ là biến cố “gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê”.

Ta đi tính $P\left( {B\left| A \right.} \right)$

Ta có: $n\left( A \right) = \frac{{55}}{{95}}$; $n\left( {A \cap B} \right) = \frac{{11}}{{95}}$

Do đó. $P\left( {B\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{11}}{{95}}}}{{\frac{{55}}{{95}}}} = \frac{{11}}{{55}} = \frac{1}{5}$.

Chọn A

Xét các biến cố : $E:$ “Cây chọn được là cây Táo”, $F:$ “Cây chọn được ở khu B”

Ta có: $P\left( {E\left| F \right.} \right) = \frac{{n\left( {E \cap F} \right)}}{{n\left( F \right)}} = \frac{{100}}{{200}} = \frac{1}{2}$.

Vậy xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở Khu B, là $\frac{1}{2}$.

Chọn A

Gọi A là biến cố “lần 1 bốc được bi trắng”

Gọi B là biến cố “lần 2 bốc được bi đỏ”

Xác suất lần 2 bốc được bi đỏ khi lần 1 đã bốc được bi trắng là $P\left( {B|A} \right)$

Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{8.9}}{{10.9}} = \frac{4}{5}$; $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{8.2}}{{10.9}} = \frac{8}{{45}}$

Do đó: $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{8}{{45}}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{2}{9}$.

Chọn A

Gọi A là biến cố “chọn được bạn nữ” suy ra $P\left( A \right) = \frac{{130}}{{200}} = \frac{{13}}{{20}}$.

B là biến cố “chọn được bạn thích uống hồng trà”.

Khi đó $P\left( {AB} \right) = \frac{{80}}{{200}} = \frac{2}{5}$.

Nếu đã chọn được một bạn nữ thì xác suất để bạn nữ thích uống vị hồng trà là $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{8}{{13}}$.

Chọn A

Gọi A là biến cố “ Gọi được học sinh đạt điểm giỏi môn Toán”.

Gọi B là biến cố “ Gọi được học sinh nữ”.

Khi đó xác suất để gọi được học sinh đạt điểm giỏi môn Toán và là học sinh nữ là xác suất của biến cố A với điều kiện B.

Ta đi tính $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Ta có : $n\left( \Omega \right) = 45$;

$n\left( B \right) = 20 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{20}}{{45}}$;

$n\left( {A \cap B} \right) = 7 \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{7}{{45}}$.

Suy ra : $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{7}{{45}}}}{{\frac{{20}}{{45}}}} = \frac{7}{{20}}$.

Chọn B

Không gian mẫu là $\Omega = \left\{ {TTT,\;TTG,\;TGT,\;TGG,\;GTT,\;GTG,\;GGT,\;GGG} \right\}$ trong đó $T$ ký hiệu con trai và $G$ ký hiệu con gái.

Gọi $A$ là biến cố “Có hai trai, một gái”. Ta có $A = \left\{ {TTG,\;GTT,\;TGT} \right\}$.

Gọi $B$ là biến cố “Gia đình có con gái”. Ta có $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Có $A \cap B = \left\{ {TTG,\;GTT,\;TGT} \right\}$ nên $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{8}$.

Vậy $P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{3}{7}$.

Chọn A

Gọi $A$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là $7$” và $B$ là biến cố “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt $5$ chấm”.

Ta có

$P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}$;

$A \cap B = \left\{ {\left( {2;5} \right),\;\left( {5;2} \right)} \right\}$$\Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{2}{{36}}$.

Suy ra $P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{{11}}$.

Chọn A

Ta có bảng sau đây

Gọi $A$ là biến cố “Người đó mắc bệnh $X$”, $B$ là biến cố “Người đó có xét nghiệm âm tính”.

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Người đó vừa mắc bệnh $X$, vừa có xét nghiệm âm tính”.

Từ bảng trên, ta có $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{6}{{5282}}$; $P\left( B \right) = \frac{{3927}}{{5282}}$.

Vậy xác suất cần tính là $P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{6}{{3927}}$.

Chọn C

Gọi $A$ là biến cố “vận động viên $A$ chiến thắng”, ta có $P\left( A \right) = 0{,}6$;

$B$ là biến cố “vận động viên $B$ chiến thắng” thì $P\left( B \right) = 0{,}7$;

$C$ là biến cố “vận động viên $C$ chiến thắng” thì $P\left( C \right) = 0{,}8$.

Gọi $D$ là biến cố “đội tuyển thắng hai trận”. Ta có

$P\left( D \right) = P\left( {AB\overline C } \right) + P\left( {A\overline B C} \right) + P\left( {\overline A BC} \right) = 0{,}452$.

Vậy xác suất cần tính là $P\left( {\overline A \left| D \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline A D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A BC} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0{,}4.0{,}7.0{,}8}}{{0{,}452}} = \frac{{56}}{{113}}$.

a) Đúng

$n\left( \Omega \right) = 18$

Số cách Hùng chọn được một quả cầu đỏ là: $n\left( A \right) = C_{10}^1 = 10$

Xác suất Hùng chọn được một quả cầu đỏ là: $P\left( A \right) = \frac{5}{9}$

b) Đúng

Sau khi Hùng lấy một quả cầu đỏ trong hộp còn lại $17$ quả cầu trong đó có $9$ quả cầu đỏ. Do đó, xác suất Lâm lấy được quả cầu đỏ trong 17 quả cầu còn lại là xác suất cần tìm. Do đó, $P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_9^1}}{{C_{17}^1}} = \frac{9}{{17}}$

c) Sai

Ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{5}{9}.\frac{9}{{17}} = \frac{5}{{17}}$.

d) Đúng

$\overline A$là biến cố “Hùng lấy một quả màu xanh”.

Sau khi Hùng lấy một quả cầu xanh trong hộp còn lại $17$ quả cầu trong đó có $10$ quả cầu đỏ. Do đó, xác suất Lâm lấy được quả cầu đỏ trong 17 quả cầu còn lại là xác suất cần tìm. Do đó, $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{17}^1}} = \frac{{10}}{{17}}$.

Theo bài ra ta có: $P(A) = 0{,}5 \Rightarrow P(\overline A ) = 0{,}5;P(B) = 0{,}6 \Rightarrow P(\overline B ) = 0{,}4.$

Vậy $P(A \cap B) = 0{,}4.$

a) SAI

A , B, độc lập $\Leftrightarrow$$P(A \cap B) = P(A).P(B).$

Vì $0{,}4 \ne 0{,}5.0{,}6 \Rightarrow$nên $A,B$không độc lâp.

b) ĐÚNG

Gọi C là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”

$\begin{array}{l}P(C) = P(A \cap \overline B ) + P(\overline A \cap B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)\\ = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}6 - 2.0{,}4 = 0{,}3.\end{array}$

c) SAI

Gọi D là biến cố “thắng dự 2 biết thắng dự án 1”

$P(D) = P(B|A) = \frac{{P(B \cap A)}}{{P(A)}} = \frac{{0{,}4}}{{0{,}5}} = 0{,}8.$

d) SAI

Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

$P(E) = P(B|\overline A ) = \frac{{P(B \cap \overline A )}}{{P(\overline A )}} = \frac{{P(B) - P(A \cap B)}}{{P(\overline A )}} = \frac{{0{,}6 - 0{,}4}}{{0{,}5}} = 0{,}4.$

a) Sai.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{25}}{{45}} = \frac{5}{9}$.

a) Sai.

Xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = \frac{{16}}{{45}} = 0{,}3(5)$.

c) Đúng.

Số học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhẩy là $12$, số học sinh tham gia câu lạc bộ Nhẩy là $16$ nên $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{12}}{{16}} = 0{,}75$.

d) Đúng.

Số học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhẩy là $12$, số học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là $25$ nên $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(A)}} = \frac{{12}}{{25}} = 0{,}48$.

Đáp án : A Đúng, B Đúng, C Sai, D Đúng.

Gọi $A$ là biến cố “bệnh án rút ra bị biến chứng”.

Gọi B là biến cố “bệnh án rút ra bị bỏng nhiệt”.

Khi đó $\overline B$ là biến cố “bệnh án rút ra bị bỏng hóa chất”.

Theo đề:

· Xác suất do bị bỏng nhiệt là : $P\left( B \right) = 0{,}7$.

· Xác suất bị biến chứng trong bỏng nhiệt là $30\% = 0{,}3$$\Rightarrow P\left( {A|B} \right) = 0{,}3$$\Rightarrow$A đúng.

· Xác suất do bị bỏng hóa chất là $P\left( {\overline B } \right) = 0{,}3$.

· Xác suất bị biến chứng trong bỏng hóa chất là $50\% = 0{,}5$$\Rightarrow P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}5$$\Rightarrow$ B đúng.

Xác suất biến cố “bệnh án bị biến chứng”:

$P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}3.0{,}7 + 0{,}5.0{,}3 = 36\%$$\Rightarrow$C sai.

Xác suất của bệnh án bị biến chứng do bỏng nhiệt:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}7.0{,}3}}{{0{,}36}} = \frac{7}{{12}}$$\Rightarrow$ D đúng

$$P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{a}{b} \Leftrightarrow 1 - P\left( {A|B} \right) = \frac{a}{b} \Leftrightarrow 1 - \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow 1 - \frac{{0{,}2}}{{0{,}6}} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{3}$$

$M = 13$.

Gọi $A$ là biến cố “Hai bạn được chọn có cùng giới tính”

Gọi $B$ là biến cố “Có ít nhất một bạn nam được chọn”

$\Rightarrow AB$: “Hai bạn được chọn là nam”

Xác suất để chọn được hai bạn nam là $P\left( {AB} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{{18}}$

Xác suất để chọn được ít nhất 1 bạn nam$P\left( B \right) = \frac{{C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} + \frac{{C_5^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{6}$.

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{3}$.

Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố : “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.

Ta cần tính $P(A \cap B)$

Theo công thức nhân xác suất $P(A \cap B) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)$

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi $P(A) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}$

Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó $P(B|A) = \frac{{20}}{{49}}$

Vậy xác suất cần tìm là $P(A \cap B) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}.\frac{{20}}{{49}} = \frac{{12}}{{29}}$

Gọi A là biến cố: “Rút ra được câu hỏi lý thuyết”

Gọi B là biến cố : “Rút ra được câu hỏi khó”.

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút ra là một câu trong số 17 câu khó) thì xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (nghĩa là câu hỏi đó là một trong số 5 câu hỏi lý thuyết khó) chính là xác suất A có điều kiện B đã xảy ra. Ta đi tính $P(A|B)$

Ta có:

$\begin{array}{l}P(A) = \frac{{13}}{{40}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}}\\P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}\,,\,\,\,\,\,\,P\left( {A|B} \right) = \frac{{\frac{5}{{40}}}}{{\frac{{17}}{{40}}}} = \frac{5}{{17}}.\end{array}$

Gọi $A$ là biến cố “Bạn được gọi tên Minh”.

Gọi $B$ là biến cố “Bạn được gọi là nam”.

Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Minh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là$P\left( {A|B} \right)$

Ta có:

$P\left( B \right) = \frac{{13}}{{30}}$ ; $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{2}{{30}}$

Do đó: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{{30}}}}{{\frac{{13}}{{30}}}} = \frac{2}{{13}}$

Gọi ${A_i}$ là biến cố: “Thí sinh thi đậu lần thứ $i$” $\left( {i = 1{,}2{,}3} \right)$

Gọi B là biến cố: “Thí sinh thi đậu”

Ta có: $B = {A_1} \cup \overline {{A_1}} {A_2} \cup \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}$

Suy ra $P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right)$

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}P\left( {{A_1}} \right) = 0{,}9\\P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = \left( {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right).P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0{,}1.0{,}7 = 0{,}07\\P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} } \right) = \left( {1 - P\left( {{A_1}} \right)} \right).\left( {1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right)} \right).P\left( {{A_3}|\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} } \right) = 0{,}1.0{,}3.0{,}3\end{array} \right.$

Vậy $P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = 0{,}9 + 0{,}1.0{,}7 + 0{,}1.0{,}3.0{,}3 = 0{,}979 \approx 0{,}98$