Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Tọa độ giao điểm $M$ của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - y\, + \,4 = 0}\\{x + y\, + \,2 = 0}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2x\, - \,y\, = \, - 4\\x\, + \,y\, = \, - 2\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, - 2\\y\, = \,0\end{array} \right.\,.$

Suy ra $M\left( { - 2;\,0} \right)\, \Rightarrow \,2a - b\, = \,2\left( { - 2} \right)\, - \,0\, = \, - 4\,.$

Vì $\Delta$ vuông góc $d$ nên đường thẳng $\Delta$ có dạng: $x + 4y + c = 0$.

Theo giả thiết ta có: $d\left( {M,\;\Delta } \right) = 2d\left( {N,\;\Delta } \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 + 4.3 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }} = 2.\frac{{\left| {4 - 4.1 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }}$$\Leftrightarrow \left| {c + 10} \right| = 2\left| c \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 10\\c = \;\frac{{ - 10}}{3}\;\;\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng $\Delta$cần tìm là: $x + 4y + 10 = 0$.

Ta được $a = 1;\,\;b = 4;\,\;c = 10$. Do đó $P = 1.4.10 = 40$.

Chọn C

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1 \to {{\vec n}_1} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{4}} \right)\\{d_2}:3x + 4y - 10 = 0 \to {{\vec n}_2} = \left( {3;4} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \to {d_1} \bot {d_2}.$

Gọi $M\left( {x\,;\,y} \right)$ là giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}\,\, \Rightarrow \,\,\left( {x\,;\,y} \right)$ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - 3y\, + \,6 = 0}\\\begin{array}{l}x\, = \,t\\y = \,1\, + \,t\end{array}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2t - \,3\left( {1 + t} \right)\, + \,6\, = \,0\\x = \,t\\y\, = \,1\, + \,t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}t\, = \,3\\x\, = \,3\\y\, = \,4\end{array} \right.\,\,.$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là $M\left( {3\,;\,4} \right)\,$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3\,;\,3} \right)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ nên $\vec u = \left( {1\,;\,1} \right)$ là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là $1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$.

Ta có: $d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {3 - 4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2$.

$AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2}.3\sqrt 2 .2\sqrt 2 = 6$.

Ta có véctơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt là ${\vec n_1}\, = \,\left( {m\,;\,2} \right)\,$, ${\vec n_2}\, = \,\left( {3\,;\, - m - 1} \right)$.

Để ${d_1} \bot \,\,{d_2}\,\, \Leftrightarrow \,\,{\vec n_1}\,.\,{\vec n_2}\, = \,0\, \Leftrightarrow \,m\,.\,3\, + \,2\,.\,\left( { - m - 1} \right)\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,m\, = \,2$.

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_{\rm{o}}}\,;\,\,{y_{\rm{o}}}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :\,\,Ax + By + C = 0$ là

$d\left( {M,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {A{x_{\rm{o}}} + B{y_{\rm{o}}} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$.

Vậy khoảng cách từ điểm $M\left( { - 2\,;\,\,1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :\,\,x - 3y + 6 = 0$ bằng

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2 - 3.1 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.

Ta có $M \in Oy$ và có tung độ dương nên tọa độ có dạng $M\left( {0\,;\,\,m} \right)\,\,\,\left( {m > 0} \right)$.

Theo giả thiết $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{8}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3m - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{5}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 2 = 8\\3m + 2 = - 8\end{array} \right.$

Vậy tung độ của điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu đề bài bằng $2$.

Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0$ nên ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$. Suy ra $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ .$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Hai đường ${d_1},{d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (2; - 1),{\vec n_2} = (1; - 3)$. $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2.1 + 3.1|}}{{\sqrt {4 + 1} \cdot \sqrt {1 + 9} }} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ$.

b)Hai đường ${d_1},{d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1;2),{\vec n_2} = (1; - 1)$. $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1 \cdot 1 - 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {4 + 1} \cdot \sqrt {1 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 71{,}565^\circ$.

c) Hai đường ${d_1},{d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (3;4),{\vec n_2} = (5; - 12)$. $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|3.5 - 4.12|}}{{\sqrt {9 + 16} \cdot \sqrt {25 + 144} }} = \frac{{33}}{{65}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 59{,}49^\circ$.

d) ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = ( - 1; - 2),{\vec n_2} = (2;4)$ với $- 1.4 = - 2.2$ nên hai vectơ này cùng phương. Mặt khác $A(4;0) \in {\Delta _1}$ mà $A(4;0) \notin {\Delta _2}$. Vì vậy hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ song song nhau.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $d(A,\Delta ) = \frac{{| - 6 + 1 + 11|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$.

b) Ta có phương trình $\Delta :y = 0$ (trùng với $Ox$ ). Suy ra $d(A,\Delta ) = \frac{{|2|}}{{\sqrt 1 }} = 2$.

c) Ta có: $d(A,\Delta ) = \frac{{|0 + 0 - 225|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = 45$.

d) Phương trình tổng quát $\Delta :x - 1 = 0$. Suy ra $d(A,\Delta ) = \frac{{| - 1 - 1|}}{{\sqrt 1 }} = 2$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $\frac{4}{1} \ne - \frac{{10}}{1}$. Vậy ${d_1}$ cắt ${d_2}$.

b) Ta có: $\frac{{12}}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 1}} \ne \frac{{10}}{5}$. Vậy ${d_3}//{d_4}$.

c) Phương trình tổng quát của ${d_6}$ là: $4x + 5y - 6 = 0$.

Ta có: $\frac{4}{8} = \frac{5}{{10}} = \frac{{ - 6}}{{ - 12}}$. Vậy ${d_5} \equiv {d_6}$.

d) ${d_7}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + t}\\{y = - 2 - 2t}\end{array}} \right.$ có một vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_7}} = (1; - 2)$

${d_8}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 - 2{t^\prime }}\\{y = - 8 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.$ đi qua điểm $B(2; - 8)$ và có một vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_8}} = ( - 2;4)$.

Ta thấy $\overrightarrow {{u_7}} ,\overrightarrow {{u_8}}$ cùng phương và điểm $B(2; - 8)$ thuộc đường thẳng ${d_7}$. Vậy ${d_7} \equiv {d_8}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) $\{\begin{matrix}{d}_{1}:3x-2y-6=0\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}=(3;-2) \\ {d}_{2}:6x-2y-8=0\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2}=(6;-2)\end{matrix}\rightarrow \{\begin{matrix}\frac{3}{6}\cancel{=}\frac{-2}{-2} \\ {\overrightarrow{n}}_{1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{2}\cancel{=}0\end{matrix}\underset{}{\rightarrow }{d}_{1},\ {d}_{2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

b) $\begin{matrix}{d}_{1}:\{\begin{matrix}x=4+2t \\ y=1-5t\end{matrix}\rightarrow A(4;1)\in {d}_{1},\ {\overrightarrow{u}}_{1}=(2;-5) \\ {d}_{2}:5x+2y-14=0\rightarrow \ {\overrightarrow{n}}_{2}=(5;2)\rightarrow {\overrightarrow{u}}_{2}=(2;-5)\end{matrix}\}\rightarrow \{\begin{matrix}{\overrightarrow{u}}_{1}={\overrightarrow{u}}_{2} \\ A\cancel{\in }{d}_{2}\end{matrix}\rightarrow {d}_{1}||{d}_{2}.$

c) $\begin{matrix}\{\begin{matrix}{d}_{1}:mx+(m-1)y+2m=0 \\ {d}_{2}:2x+y-1=0\end{matrix}\overset{{d}_{1}||{d}_{2}}{\rightarrow }\frac{m}{2}=\frac{m-1}{1}\cancel{=}\frac{2m}{-1} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix}-1\cancel{=}2 \\ m=2m-2\end{matrix}\Leftrightarrow m=2.\ \end{matrix}$

d) Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1; - 3)$, ${\vec n_2} = (1; - 3)$ với $1.( - 3) = - 3.1$ nên hai vectơ này cùng phương. Mặt khác: $A(0;1) \in {\Delta _1}$ mà $A \notin {\Delta _2}$ nên hai đường thẳng này song song nhau.

Viết phương trình tham số ; gọi .

Ta có: $d(M,\Delta ) = \frac{{|3t + 4(1 - t) - 6|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{| - t - 2|}}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow |t + 2| = 4 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t + 2 = 4}\\{t + 2 = - 4}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 2}\\{t = - 6}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: $(2; - 1),( - 6;7)$.

Ta có: $d//\Delta :y - 3 = 0 \Rightarrow$ Phương trình $d$ có dạng: $y + c = 0$.

Ta có: $M(0;3) \in \Delta$. Vì $d$ cách $\Delta$ một khoảng bằng 5 nên $d(d,\Delta ) = 5$

$\Rightarrow d(M,d) = 5 \Rightarrow \frac{{|3 + c|}}{{\sqrt {0 + 1} }} = 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 2}\\{c = - 8}\end{array}.} \right.$

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn là $y + 2 = 0;y - 8 = 0$.

Tọa độ của điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.$

Suy ra điểm $A$ có tọa độ là $\left( { - 5;3} \right)$.

Gọi $AH$ là đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC(H \in BC)$. Ta có:

$AH = d(A,BC) = \frac{{|2 \cdot ( - 5) + 3 \cdot 3 - 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}.$

Từ các phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác $ABC$ ta tính đuợc

toạ độ của điểm $B$ và điểm $C$ lần lượt là $(7; - 3),( - 11;9)$.

Do đó, độ dài đoạn thẳng $BC$ là $6\sqrt {13}$.

Diện tích tam giác bằng $\frac{1}{2}.\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}.6\sqrt {13} = 18$

Đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 3t}\\{y = - 2 - t}\end{array}} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\vec u(3; - 1)$ nên nhận $\vec n(1;3)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là: $(x - 2) + 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0.$

Vì đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tâm $I$ bằng khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $\Delta$ tâm I bằng khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $\Delta .$ $R = d(I,\Delta ) = \frac{{|( - 2) + 3 \cdot 4 + 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} \approx 4{,}4.$

${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2;{m^2} + 1} \right),{\vec n_2} = (1;m)$.

Điều kiện cần: ${\Delta _1}//{\Delta _2} \Rightarrow {\vec n_1}$ cùng phương với ${\vec n_2} \Rightarrow 2 \cdot m = \left( {{m^2} + 1} \right) \cdot 1 \Rightarrow m = 1$.

Điều kiện đủ: Với $m = 1$ thì ${\Delta _1}:2x + 2y - 3 = 0,{\Delta _2}:x + y - 100 = 0$ (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì $A\left( {0;\frac{3}{2}} \right) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}$ nên ${\Delta _1}//{\Delta _2}$. Do vậy $m = 1$ thỏa mãn đề bài.