Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

$\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Ta có véctơ chỉ phương của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt là ${\vec u_1}\, = \,\left( {3\,;\,1} \right)$, ${\vec u_2}\, = \,\left( {6\,;\,2} \right)\,$$\Rightarrow \,{\vec u_2}\, = \,3{\vec u_1}\,\,\left( 1 \right)\,$.

Lấy điểm $M\left( { - 1;\,0} \right)\,\, \in \,\,{d_1}$. Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình của ${d_2}$ thấy thỏa mãn $\Rightarrow \,M\left( { - 1\,;\,0} \right)\,\, \in \,\,{d_2}$ $\Rightarrow {d_1}$ và ${d_2}$ trùng nhau.

Tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\x + 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.$.

Vậy ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A\left( {1; - 1} \right)$.

Để 3 đường thẳng ${d_1},{d_2},{d_3}$ đồng quy thì ${d_3}$ phải đi qua điểm $A$

$$\Rightarrow m + 1 - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 6.$$

Chọn A

$$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:7x - 3y + 16 = 0\\{d_2}:x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = - 18\end{array} \right..$$

Gọi ${\vec n_d}$, ${\vec n_{d'}}$ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $d:\,\,x + my - 3 = 0$ và $d':\,\,x + y = 0$

Ta có $\left( {d,\,d'} \right) = 60^\circ \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_{d'}}} \right)} \right| = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2\left| {m + 1} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{m^2} + 1}$$\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 1 = 0$.

$\Rightarrow {m_1} + {m_2} = - \frac{b}{a} = - 4.$

Chọn A

$$\Delta :\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right. \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0 \to d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.$$

Chọn B

$$d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right..$$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _1}$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4} \right).$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 12} \right).$

$\Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{33}}{{65}}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$

Phương trình đường thẳng $AB:x + 3y - 8 = 0$.

Vì $C \in \Delta$ nên$C\left( {2c - 8;c} \right)$ .

Vậy $C\left( {12;10} \right)$ và $C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = (5; - 6)$, ${\vec u_2} = (5;6)$ với $5.6 \ne - 6.5$ nên hai vectơ này không cùng phương. Vì vậy hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau.

Giải hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2 + 5t = 7 + 5{t^\prime }}\\{3 - 6t = - 3 + 6{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5t - 5{t^\prime } = 5}\\{ - 6t - 6{t^\prime } = - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{{t^\prime } = 0}\end{array} \Rightarrow M(7; - 3)} \right.} \right.} \right.$ là tọa độ giao điểm hai đường ${\Delta _1},{\Delta _2}$.

Ta có: ${\vec u_1} = (5; - 6),{\vec u_2} = (5;6){\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 5.5 - 6.6 = - 11 \ne 0$. Suy ra hai đường thẳng đã cho chỉ cắt nhau mà không vuông góc.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $d(M,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 2 - 4 \cdot ( - 1) - 12|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{2}{5}$.

b) Ta có $\Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2t}\\{y = 2 + 3t}\end{array} \Rightarrow \Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{3} \Rightarrow \Delta :3x - 2y + 4 = 0} \right.$.

Do đó: $d(M,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 4 - 2 \cdot ( - 5) + 4|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 2\sqrt {13}$.

c) Ta dễ dàng chứng minh được ${\Delta _1}//{\Delta _2}$. Ta có $M(0;3) \in {\Delta _1}$.

d) Khi đó: $d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{|7.0 + 3 + 12|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = ( - 1; - 1),{\vec n_2} = (2;1)$ với $- 1.1 \ne - 1.2$ nên hai vectơ này không cùng phương. Do đó hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau. Thay phương trình ${\Delta _2}$ vào phương trình ${\Delta _1}:(1 - t) - (2 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{7}{3}}\\{y = - \frac{2}{3}}\end{array}} \right.$

Vậy ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có $\frac{1}{{ - 1}} \ne \frac{2}{3}$ nên $d$ cắt ${\Delta _1}$. Tọa độ giao điểm của $d$ và ${\Delta _1}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2y - 1 = 0}\\{ - x + 3y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{3}{5}}\\{y = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $d$ cắt ${\Delta _1}$ tại $A\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)$

b) ${\Delta _2}:y = - \frac{1}{2}x + 3 \Leftrightarrow x + 2y - 6 = 0$. Ta có $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 6}}$ nên $d//{\Delta _2}$

c) Ta có $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \ne \frac{{ - 1}}{3}$ nên $d//{\Delta _3}$

d) $d$ cắt ${\Delta _4}:2x + y - 1 = 0$

${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1;m + 1),{\vec n_2} = (m;2)$.

Điều kiện cần: ${\Delta _1}//{\Delta _2} \Rightarrow {\vec n_1}$ cùng phương với ${\vec n_2}$

$\Rightarrow 1.2 = (m + 1)m \Rightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = 1}\\{m = - 2}\end{array}} \right.{\rm{. }}$

Thử lại (điều kiện đủ):

- Với $m = 1$ thì ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 8 - 2t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}:x + 2y - 14 = 0} \right.$ (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì $A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}$ nên ${\Delta _1}//{\Delta _2}$. Do vậy $m = 1$ thỏa mãn đề bài.

- Với $m = - 2$ thì ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 8 + t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}: - 2x + 2y - 14 = 0} \right.$ (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì $A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}$ nên ${\Delta _1}//{\Delta _2}$. Do vậy $m = - 2$ thỏa mãn đề bài.

Vậy ta tìm được hai giá trị $m$ thỏa mãn là $m = 1;m = - 2$.

${\Delta _1},{\Delta _2}$ có hai vectơ pháp tuyến là ${\vec n_1} = (2; - 3),{\vec n_2} = (4m; - 3)$.

Ta có: ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 4m + ( - 3) \cdot ( - 3) = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}$.

Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1;1),{\vec n_2} = (2;m)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \cos 45^\circ \Rightarrow \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\Rightarrow 4 + {m^2} = 4 + 4m + {m^2} \Rightarrow m = 0$. Vậy $m = 0$ thỏa mãn đề bài.

Gọi $\vec n = (a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ cần tìm.

$\Delta$ qua $M(2;5) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Rightarrow \Delta :ax + by - 2a - 5b = 0$.

Ta có: $d(P,d) = d(Q,d) \Leftrightarrow \frac{{| - a + 2b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|5a + 4b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$\Leftrightarrow | - 3a - 3b| = |3a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 3a - 3b = 3a - b}\\{ - 3a - 3b = - 3a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3a = - b}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}$

Với $3a = - b$; chọn $a = 1 \Rightarrow b = - 3 \Rightarrow d:x - 3y + 13 = 0$.

Với $b = 0$; chọn $a = 1 \Rightarrow d:x = 2$.

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

$d:x - 3y + 13 = 0$ hay $d:x = 2$.

Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1;m + 1),{\vec n_2} = (m;6)$.

Điều kiện cần để ${\Delta _1},{\Delta _2}$ song song nhau là ${\vec n_1},{\vec n_2}$ cùng phương

$\Leftrightarrow 1.6 = (m + 1)m \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = 2}\\{m = - 3}\end{array}} \right.$.

Thử lại:

Với $m = 2$ thì ${\Delta _2}:2x + 6y - 76 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 38 = 0$.

Ta có $A(8;10) \in {\Delta _1},A \in {\Delta _2}$ nên loại $m = 2$.

Với $m = - 3$ thì ${\Delta _2}: - 3x + 6y - 76 = 0$. Ta có $A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}$ nên loại $m = - 3$ thỏa mãn.

Vậy với $m = - 3$ thì ${\Delta _1},{\Delta _2}$ song song nhau.