Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn C

Ta có: ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \, = \,\left( {2\,;\, - 1} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,\left( {1\,;\,2} \right)\,$.

Mà $\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,2.1\, + \,\left( { - 1} \right).2\, = \,0\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {{n_1}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_2}} \,$ $\Rightarrow {d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc.

Chọn B

Gọi $M$ là giao điểm của 3 đường thẳng ${d_1};{d_2}{\rm{ }}$và đường thẳng chứa trục hoành.

$M \in {d_2} \Rightarrow M\left( { - 1 + t\,;\,3 + 3t} \right),M \in Ox \Rightarrow 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = --1$.

Suy ra $M\left( { - 2;0} \right)$.

$M \in {d_1}$$\Rightarrow a\left( { - 2} \right) + 3.0--4 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow a = --2$.

Vậy $a = - 2$ là giá trị cần tìm.

Chọn B

Tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x--5y + 3 = 0\\x - 3y--7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 44\\y = - 17\end{array} \right.$.

Vì ${d_1}$, ${d_2}$ và $d$ đồng quy nên đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( { - 44;{\rm{ }} - 17} \right)$

$\Delta$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4;\,1} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 4} \right).$

Vì $d \bot \Delta$ nên $d$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 4} \right).$

Phương trình đường thẳng $d$ là: $1\left( {x + 44} \right) - 4\left( {y + 17} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 4y - 24 = 0.$

Chọn D

Ta có

$\{\begin{matrix}{d}_{1}:2x-4y+1=0 \\ {d}_{2}:\{\begin{matrix}x=-1+at \\ y=3-(a+1)t\end{matrix}\end{matrix}\overset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}{\overrightarrow{n}}_{1}=(1;-2) \\ {\overrightarrow{n}}_{2}=(a+1;a)\end{matrix}\overset{{d}_{1}\perp {d}_{2}}{\rightarrow }{\overrightarrow{n}}_{1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{2}=0\Leftrightarrow a+1-2a=0\Leftrightarrow a=1.$

Chọn D

Gọi $M\left( {x;y} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$d\left( {M,{d_1}} \right) = \frac{5}{{13}}d\left( {M,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {5x - 12y + 4} \right|}}{{13}} = \frac{5}{{13}}\frac{{\left| {4x - 3y - 10} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| {5x - 12y + 4\left| = \right|4x - 3y - 10} \right|$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{5x - 12y + 4 = 4x - 3y - 10}\\{5x - 12y + 4 = - 4x + 3y + 10}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 9y + 14 = 0}\\{9x - 15y - 6 = 0}\end{array}.} \right.} \right.$

Chọn A

Ta có

$\{\begin{matrix}{d}_{1}:2x+2\sqrt{3}y+5=0\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}=(1;\sqrt{3}) \\ {d}_{2}:y-6=0.\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2}=(0;1)\end{matrix}\overset{φ=({d}_{1};{d}_{2})}{\rightarrow }\cos φ=\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{0+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow φ={30}^{∘}.$

Chọn A

$d$ nhận $\overrightarrow n = \left( {5;1} \right)$ là 1 véctơ pháp tuyến.

$d'$ nhận $\overrightarrow {n'} = \left( {5; - 1} \right)$ là 1 véctơ pháp tuyến.

$\Rightarrow \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {5.5 + 1\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {25 + 1} .\sqrt {25 + 1} }} = \frac{{12}}{{13}}$.

Chọn B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1} \right),$$\overrightarrow {AC} = \left( {0;2} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $AB,AC$

$\Rightarrow \cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow$$\left( {AB,AC} \right) \approx 63^\circ 26'.$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

b) Đường thẳng ${m_1}$ song song với đường thẳng ${m_2}$.

c) Hai đường thẳng ${a_1}$ và ${a_2}$ trùng nhau.

d) Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là ${45}^{0}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

${\Delta _1}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (2;1),{\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = (1; - 2)$.

Vì 2. $( - 2) \ne 1.1$ nên hai vectơ trên không cùng phương, suy ra hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau.

Xét hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + y + 15 = 0}\\{x - 2y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - \frac{{27}}{5}}\\{y = - \frac{{21}}{5}}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau tại $\left( { - \frac{{27}}{5}; - \frac{{21}}{5}} \right)$.

Mặt khác: ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 2) = 0$. Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1;\sqrt 3 ),{\vec n_2} = (1;0)$.

Vì vậy $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1.1 + \sqrt 3 \cdot 0|}}{{\sqrt {1 + 3} \cdot \sqrt {1 + 0} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 60^\circ$.

b) Hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (2;2\sqrt 3 ),{\vec n_2} = (0;1)$.

Vì vậy $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2.0 + 2\sqrt 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {4 + 12} \cdot \sqrt {0 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ$.

c) ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = (2; - 3)$ nên có một vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (3;2)$;

${\Delta _2}$ có một vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = (3;2)$.

Ta có: $3.2 = 2.3$ nên hai vectơ pháp tuyến này cùng phương nhau.

Mặt khác điểm $A(4;1) \in {d_1}$ và $A \in {d_2}$. Vậy ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trùng nhau.

d) Hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1; - 3)$, ${\vec n_2} = (1; - 3)$ với $1.( - 3) = - 3.1$ nên hai vectơ này cùng phương.

Mặt khác: $A(0;1) \in {\Delta _1}$ mà $A \notin {\Delta _2}$ nên hai đường thẳng này song song nhau.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

${\Delta _1},{\Delta _2}$ có cặp vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = ( - 1; - 1),{\vec u_2} = (2; - 3)$ với $- 1$. $( - 3) \ne - 1.2$ nên hai vectơ này không cùng phương. Do đó hai đường ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau.

Xét hệ hai phương trình ${\Delta _1},{\Delta _2}$ với $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 - t = 1 + 2{t^\prime }}\\{2 - t = 1 - 3{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - t - 2{t^\prime } = - 2}\\{ - t + 3{t^\prime } = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = \frac{8}{5}}\\{{t^\prime } = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

$t = \frac{8}{5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{7}{5}}\\{y = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.$. Vậy ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {\frac{7}{5};\frac{2}{5}} \right)$.

Đáp án: $M\left( {\frac{4}{3};0} \right)$ hoặc $M\left( {\frac{2}{3};0} \right)$.

Gọi $M(a;0)$ là điểm thuộc trục hoành. Khoảng cách từ $A,M$ đến đường thẳng $\Delta :3x + 2y - 3 = 0$ lần lượt là $\frac{1}{{\sqrt {13} }},\frac{{|3a - 3|}}{{\sqrt {13} }}$. Vì đường thẳng $\Delta :3x + 2y - 3 = 0$

cách đều hai điểm $A,M$ nên $\frac{1}{{\sqrt {13} }} = \frac{{|3a - 3|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow |3a - 3| = 1 \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$ hoặc $a = \frac{2}{3}$.

Vậy $M\left( {\frac{4}{3};0} \right)$ hoặc $M\left( {\frac{2}{3};0} \right)$.

Tại thời điểm $t$, vị trí tàu $A$ là $M(3 - 33t; - 4 + 25t)$, vị trí của tàu $B$ là $N(4 - 30t;3 - 40t)$. Ta có $MN = \sqrt {{{(1 + 3t)}^2} + {{(7 - 65t)}^2}} = \sqrt {4234{t^2} - 904t + 50}$.

$MN$ nhỏ nhất khi hàm bậc hai $f(t) = 4234{t^2} - 904t + 50$ đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 904}}{{2.4234}} = \frac{{226}}{{2117}} \approx 0{,}107$ (giây).

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) = - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}$

Vậy $m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}}$ thỏa mãn đề bài.

Ta có: $d//\Delta :x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow$ Phương trình $d$ có dạng: $x + 4y + c = 0$.

Mặt khác: $d(A,d) = 3 \Rightarrow \frac{{| - 2 + 4.3 + c|}}{{\sqrt {1 + 16} }} = 3 \Rightarrow |10 + c| = 3\sqrt {17}$

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 3\sqrt {17} - 10}\\{c = - 3\sqrt {17} - 10}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{d_1}:x + 4y + 3\sqrt {17} - 10 = 0}\\{{d_2}:x + 4y - 3\sqrt {17} - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}$

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: $x + 4y + 3\sqrt {17} - 10 = 0;x + 4y - 3\sqrt {17} - 10 = 0$.

Gọi $\vec n = (a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta ;\Delta$ qua $A(5;1)$ nên có phương trình $a(x - 5) + b(y - 1) = 0 \Rightarrow d:ax + by - 5a - b = 0$.

Ta có: $d(B,\Delta ) = 5 \Rightarrow \frac{{|2a - 3b - 5a - b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Rightarrow | - 3a - 4b| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ $\Rightarrow {(3a + 4b)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Rightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 25{a^2} + 25{b^2}$ $\Rightarrow 16{a^2} + 9{b^2} - 24ab = 0 \Rightarrow 4a - 3b = 0 \Rightarrow 4a = 3b$.

Chọn $a = 3 \Rightarrow b = 4$. Ta có phương trình $\Delta :3x + 4y - 19 = 0$.

Vì $\overrightarrow {AB} = (2;1),\overrightarrow {AC} = (0;2)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $AB,AC$

Nên $\cos (AB,AC) = \cos |(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )| = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} |}}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} |}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

Vậy $(AB,AC)\approx {63}^{^{\circ}}{26}^{'}$