Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Dễ thấy vectơ bằng với vectơ $\overrightarrow {AB}$ là vectơ nào $\overrightarrow {D'C'}$ vì chúng cùng hướng và có cùng độ dài

Vectơ cùng phương với $\overrightarrow {AB}$ là $\overrightarrow {CD}$, vì hai vectơ này có giá song song với nhau.

Chọn A

Đáp án B đúng: Vì $I$ là trung điểm $MN$ nên ta có : $\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0$ .

Đáp án C đúng: Vì $M$ là trung điểm $AB$nên ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$

Đáp án D đúng. Vì N là trung điểm CD nên ta có $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0$

Chọn A

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$

Có ba vectơ là: $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD}$.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {D'C'}$ có giá song song nên cùng phương.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0$.

Ta có

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}$

$= \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.

Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM}$ nên đáp án A đúng.

$\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {MN}$ đúng vì $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} = \overrightarrow {MN}$

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$ đúng vì $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0$.

Đáp án D: $2\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ sai vì :

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}$$

1. Mệnh đề đúng vì $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a$.

2. Mệnh đề đúng vì $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\sin \widehat {ASB} = a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

3. Mệnh đề sai:

Do $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SN}$ và $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {MB}$.

Suy ra $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\left( {\overrightarrow {SN} + \overrightarrow {AN} } \right)$(1)

Do $M$ là trung điểm của $SA$ nên $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NS} = 2\overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {SN} = 2\overrightarrow {MN}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2.2.\overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MN}$.

4. Mệnh đề sai

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác$ABC$.

Do tứ diện $SABC$ là tứ diện đều và $I$ là trọng tâm tứ diện nên $d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = IG$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $N$là trung điểm của $BC$, suy ra $AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do $G$ là trọng tâm tam giác$ABC$ nên $AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Do tứ diện $SABC$ là tứ diện đều nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$$\Rightarrow SG \bot AG$.

Tam giác $SAG$ vuông tại $G$ nên $SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Do $I$ là trọng tâm tứ diện$SABC$ nên $IG = \frac{1}{4}SG = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}$.

Vậy $d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}$.

1. Mệnh đề sai vì $\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \overrightarrow {DC} \ne \overrightarrow {CD}$.

2. Mệnh đề đúng vì $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {D{C_1}}$

3. Mệnh đề đúng $\overrightarrow {A{B_1}} .\overrightarrow {C{D_1}} = \overrightarrow {A{B_1}} .\overrightarrow {B{A_1}} = 0$

4. Mệnh đề sai

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{B_1}M} = \overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BM} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {B{B_1}} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {B{B_1}} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{B_1}{D_1}} } \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} = \overrightarrow {B{B_1}} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} } \right)\\ = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \end{array}$

1. Mệnh đề sai

2. Mệnh đề đúng: Vì $M$là trung điểm $AB$nên $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} = 2\overrightarrow {EM}$, $N$là trung điểm $CD$nên $\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 2\overrightarrow {EN}$

Ta có $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 2\left( {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} } \right) = \vec 0$

3. Mệnh đề đúng: Vì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}$

$$\begin{array}{l} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {CB} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD} = \vec 0\end{array}$$

4. Mệnh đề đúng:

Gọi $M$ là điểm thoả mãn hệ thức $3\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \vec 0$ suy ra $M$ cố định vì $A,B,C,D$ cố định. Ta có

$P = 3{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + {\overrightarrow {IC} ^2} + {\overrightarrow {ID} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MD} } \right)^2}$

$= 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + 2\overrightarrow {IM} \left( {3\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)$

$= 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}$.

Do đó để $P$ nhỏ nhất thì $I$ trùng với $M$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$.

$\begin{array}{l}3\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \vec 0\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MG} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MG} = \vec 0\end{array}$

Suy ra $M$ là trung điểm của $AG$.

Ta có $BG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$

$\Rightarrow MA = \frac{1}{2}AG = \frac{a}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow M{A^2} = \frac{{{a^2}}}{6}$.

Lại có $M{D^2} = M{C^2} = M{B^2} = M{G^2} + B{G^2} = \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất là $P = 3.\frac{{{a^2}}}{6} + 3.\frac{{{a^2}}}{2} = 2{a^2}$ khi $I$ trùng với $M$.

1. Mệnh đề sai vì $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$.

2. Mệnh đề đúng: Vì

$\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {IG} + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {IG}$.

3. Mệnh đề đúng: Vì $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0$.

4. .Mệnh đề đúng vì:

$\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG}$.

$\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AB} = - \frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD}$.

Trả lời: 2

Do $E$ là trung điểm $AD$, $F$ là trung điểm $BC$nên: $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0$; $\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = - \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CF} } \right) = \overrightarrow 0$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FB} \\\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {E\,F}$

Ta có: $\left| {\overrightarrow {B'D'} } \right| = B'D' = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt {13}$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow {B'D'}$ bằng $a\sqrt {13}$

Ta có $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'}$

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {AC'} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {AA'} ^2} = 0$

$\Rightarrow$Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {A'B}$ và $\overrightarrow {AC'}$ bằng $90^\circ$

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}$.

$\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right)$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ = - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} = - \frac{1}{2}S{B^2} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}$.

Tam giác $SAB$ và $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $AB = BC = a\sqrt 2$. $\Rightarrow SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó $\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2}$. Suy ra $\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$.

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}$.

$\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right)$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ = - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} = - \frac{1}{2}S{B^2} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}$.

Tam giác $SAB$ và $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $AB = BC = a\sqrt 2$.

Suy ra trung tuyến $SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó$\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2}$. Suy ra $\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$.

Đặt $\overrightarrow {BA} = \vec x$, $\overrightarrow {BB'} = \vec y$, $\overrightarrow {BC} = \vec z$.

Do $\overrightarrow {CM}$, $\overrightarrow {CA'}$ là hai vectơ cùng phương $\Rightarrow \exists \,k \in \mathbb{R}:\,\overrightarrow {CM} = k.\overrightarrow {CA'}$.

Và $\overrightarrow {C'N}$, $\overrightarrow {C'D}$ là hai vectơ cùng phương $\Rightarrow \exists \,h \in \mathbb{R}:\,\overrightarrow {C'N} = h.\overrightarrow {C'D}$.

Ta có: $\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z$, (1)

Ta lại có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {CN} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'N} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CC'} + h.\overrightarrow {C'D} - k.\overrightarrow {CA'}$

$= \overrightarrow y + h.( - \overrightarrow y + \overrightarrow x ) - k.\left( {\overrightarrow y - \overrightarrow z + \overrightarrow x } \right) = \left( {h - k} \right).\overrightarrow x + \left( {1 - h - k} \right).\overrightarrow y + k.\overrightarrow z$, (2)

Do $MN\parallel B'D$ nên tồn tại $t\in ℝ:\overrightarrow{MN\ }=t.\overrightarrow{B{D}^{'}}$. Từ (1) và (2) ta có$\left\{ \begin{array}{l}h - k = t\\1 - h - k = t\\k = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = t\\h = 2t\\1 - 3t = t\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{4} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BD'}$.

Vậy $\frac{{MN}}{{BD'}} = \frac{1}{4}$.