Đề kiểm tra Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RP} = \overrightarrow {MP}$.

Chọn C

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

Chọn D

$\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PM}$.

Chọn A

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA}$.

Chọn A

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}$, suy ra $M$ trùng $D$.

Chọn B

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow O$.

Chọn C

$\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NO}$.

Chọn D

$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O$

Suy ra $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Chọn A

Gọi K là điểm đối xứng với G qua AC thì $\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {GC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right|$

$= \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AK} } \right| = \left| {\overrightarrow {KB} } \right| = 2BG = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Chọn A

$\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AO} + 2\overrightarrow {OD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 6$

Chọn A

Ta có: $AC = a\sqrt 2$ và$OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow OM = \frac{a}{2}$. Gọi E là điểm sao cho OBEA là hình bình hành$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = AB = a$

Chọn D

Dựng hình bình hành ABMN$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BN} } \right| = BN$

Ta có: $NC = AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow BN = \sqrt {B{C^2} + N{C^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Ta có $:|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AC} | = AC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

b) Ta có: $|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} | \Leftrightarrow |\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {DB} | \Leftrightarrow AC = BD$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau nên $ABCD$ là hình chữ nhật.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ (do $BCDO$ là hình bình hành).

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {FD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} = \overrightarrow {AF}$ (do $ABDE$ là hình bình hành).

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Dễ thấy tứ giác $ABCD,AMCN$ là hình bình hành

+ Vì $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN}$ nên ta có: $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AC}$

$+$ Vì $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$ nên ta có: $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM}$

+ Vì $\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AM}$ nên ta có: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE}$, $E$ là đỉnh của hình bình hành AMED.

Vậy $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Dễ thấy tứ giác $AMPN,MNCP$ là hình bình hành

$\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NM}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} (\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MP} )\\\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {BP} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {BC} \end{array}$

- Ta có tổng lực tác dụng lên vật: ${\vec F_1} + {\vec F_2} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC}$ (Với $C$ là điểm sao cho $AMBC$ là hình bình)

- Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: $\left| {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right| = |\overrightarrow {MC} | = MC$

- Ta có: $MA = |\overrightarrow {MA} | = \left| {{{\vec F}_1}} \right| = 400\;N$, $MB = |\overrightarrow {MB} | = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 300\;N$

- Mặt khác, do $\widehat{AMB}={90}^{^{\circ}}$ nên $AMBC$ là hình chữ nhật.

Khi đó: $MC = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} = \sqrt {{{400}^2} + {{300}^2}} = 500(N)$

- Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD}$(với $D$ là điểm sao cho $AMBD$ là hình bình hành)

- Ta có: $MA = |\overrightarrow {MA} | = \left| {{{\vec F}_1}} \right| = 25N$ và $MB = |\overrightarrow {MB} | = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 25N$

- Do $\widehat{AMB}={60}^{^{\circ}}$ nên $\Delta MAB$ là tam giác đều. Khi đó: $MD = 2 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 (N)$

- Do ô tô đứng yên nên cường độ lực tác dụng lên ô tô bằng 0 hay ${\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} = \vec 0$

Suy ra: ${\vec F_3} = - \left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right) \Rightarrow \left| {{{\vec F}_3}} \right| = \left| { - \left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right)} \right| = |\overrightarrow {DM} | = MD = 25\sqrt 3 (N)$

Vậy cường độ của ${\vec F_3}$ là $25\sqrt 3 (N)$

Vẽ $\overrightarrow {IA} = {\vec F_1},\overrightarrow {IB} = {\vec F_2}$, Vẽ hình vuông $IAJB$.

$\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = {\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}}$, có $IJ = \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} = 100\sqrt 2 (\;N)$.

Vậy cường độ lực tổng hợp của $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$ bằng $100\sqrt 2 (\;N)$.

Vẽ hình vuông $ADBM$, cạnh $MA = 100$ thì $MD = 100\sqrt 2$. Theo qui tắc hình bình hành có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD}$. Vật đứng yên khi $\overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {MD}$. Suy ra cường độ của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ là: $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 100\sqrt 2 N$.

$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=AC=AB\cdot \tan {60}^{^{\circ}}=a\sqrt{3}$

$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=CB=\frac{a}{\cos {60}^{^{\circ}}}=2a\text{;}$