Đề kiểm tra Toán 9 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án - Đề 2

Lời giải

Chọn C

Vì $\alpha ,\,\,\beta$ là hai góc phụ nhau nên $\beta = 90^\circ - \alpha .$

Theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \beta ;$ $\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \beta .$

Chọn A

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối.

Chọn D

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có $\tan A = \tan \alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2{,}4}}{{25}} = \frac{{11}}{{125}}$ nên $\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'.$

Vậy góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất là $\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'.$

Chọn B

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta được:

$$B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} = 1,{5^2} - 1,{2^2} = 0{,}81.$$

Suy ra $BC = 0{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\tan B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = \frac{4}{3}.$

Chọn B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7{,}71$ (cm).

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .$

Chọn B

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ trên.

Khoảng cách từ gốc cây đến điểm bị gãy là $AB.$

Khoảng cách từ điểm thân tre bị gãy đến ngọn cây là $BC.$

Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc là $AC.$

Đặt độ dài $BC = x{\rm{\;(m)}}\,\,\left( {0 < x < 9} \right)$.

Suy ra: $AB = 9 - x.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $AB = BC \cdot \cos B$

Suy ra $9 - x = x \cdot \cos 32^\circ$

$9 - x \approx 0{,}85x$

$1{,}85x \approx 9$

$$x \approx 4{,}9{\rm{\;(m)}} \approx {\rm{5\;m}}{\rm{.}}$$

Do đó điểm gãy cách gốc khoảng $5$ m.

a) Đúng. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ABN$vuông tại $N$, ta có:O10-2024-GV154 $AN = BN \cdot \tan B.$

b) Sai. Gọi $BN = x\,\,\left( {0 < x < 9} \right)$ nên $NC = 9 - x$.

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $N$, ta có: O10-2024-GV154 $AN = BN \cdot \tan B = x \cdot \tan 50^\circ$

Xét $\Delta ACN$ vuông tại $N$, ta có: O10-2024-GV154 $AN = CN \cdot \tan C = \left( {9 - x} \right) \cdot \tan 35^\circ$

Suy ra $x \cdot \tan 50^\circ = \left( {9 - x} \right) \cdot \tan 35^\circ$ hay $x = BN \approx 3{,}33\,\,{\rm{cm}}.$

c) Sai. Ta có $AN = BN \cdot \tan B \approx 3{,}97$.

d) Sai. Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3{,}97 \cdot 9 \approx 17{,}865\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

a) Đúng. Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

$$\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 65^\circ } \right) = 40^\circ .$$

b) Đúng. Vì $\widehat {ABC} = 75^\circ \,;\,\,\widehat {ACB} = 65^\circ$ và $\widehat {BAC} = 40^\circ$ nên $\Delta ABC$ nhọn.

c) Đúng. Xét tam giác nhọn $ABC$, kẻ các đường cao $BD,\,\,CE$ thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ) có $a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB$.

Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

$BD = AB \cdot \sin \widehat {BAC} = c \cdot \sin A.$ $\left( 1 \right)$

Xét $\Delta CDB$ vuông tại $D$, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

$BD = BC \cdot \sin \widehat {ACB} = a \cdot \sin C.$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $c \cdot \sin A = a \cdot \,\sin C$ hay $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}.$

Chứng minh tương tự, ta được $b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$ hay $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}.$

Do đó $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$ hay $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$.

d) Sai. Từ câu c, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$.

Suy ra $\frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}$ hay $AC = \frac{{1\,\,225 \cdot \sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách $AC$ là $1841{\rm{ m}}$.

Lời giải

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan B = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $\tan 63^\circ = \frac{{AH}}{{235}}$ nên $AH = 235 \cdot \tan 63^\circ = 461\;\,({\rm{m)}}$.

Vậy chiều cao của tòa nhà này là $461{\rm{ m}}.$

Đáp án: 461.

Tứ giác $ADEC$ là hình chữ nhật nên $DA = EC = 20\;\,{\rm{m}}$.

• Xét $\Delta ACD$ vuông tại $A,$ ta có:

$\tan \widehat {ADC} = \frac{{AC}}{{AD}}$ hay $\tan 35^\circ = \frac{{AC}}{{20}}$ nên $AC = 20 \cdot \tan 35^\circ \approx 14\;\,({\rm{m}})$.

• Xét $\Delta ABD$ vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{AD}}$ hay $\tan 30^\circ = \frac{{AB}}{{20}}$ nên $AB = 20 \cdot \tan 30^\circ \approx 12\;\,({\rm{m}})$.

Do đó $BC = BA + AC = 14 + 12 = 26\;\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao $AB$ của cây xoài là $26{\rm{ m}}.$

Đáp án: 26.

Lời giải

Đặt $AH = x\,\,(\;{\rm{m}}),\,\,x > 0$.

• Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có:

$\tan C = \frac{{AH}}{{CH}}$ hay $\tan 35^\circ = \frac{x}{{CH}}$ nên $CH = \frac{x}{{\tan 35^\circ }}$.

• Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có:

$\tan B = \frac{{AH}}{{BH}}$ hay $\tan 45^\circ = \frac{x}{{BH}}$ nên $BH = \frac{x}{{\tan 45^\circ }}$.

Ta có: $BH + CH = BC$

$$\frac{x}{{\tan 35^\circ }} + \frac{x}{{\tan 45^\circ }} = 3{,}58$$

$$x\left( {\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}} \right) = 3{,}58$$

$x = \frac{{3{,}58}}{{\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}}} \approx 1{,}44\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Độ cao của cầu trượt là $1{,}44\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 1,44.