Đề kiểm tra Toán 9 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án - Đề 1

Chọn A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ luôn dương và $\sin \alpha < 1\,;\,\,\cos \alpha < 1.$

Do đó $0 < \sin \alpha < 1\,;\,\,0 < \cos \alpha < 1.$

Chọn B

Theo đề bài, ta có độ dài cạnh góc vuông $AB = 250$ (m) và độ dài cạnh huyền $BC = 320$ (m).

Mà cạnh góc vuông $AB$ là cạnh kề của góc nhọn $\alpha$.

Do đó để tính giá trị của $\alpha$, cách đơn giản nhất là ta nên sử dụng tỉ số giữa cạnh kề $AB$ và cạnh huyền $BC$ của góc nhọn $\alpha$. Tức là sử dụng côsin của góc nhọn $\alpha$.

Chọn A

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$, ta được:

$D{F^2} = E{F^2} - D{E^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 8.$ Suy ra $DF = 2\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $D$ nên $\cot E = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}.$

Chọn C

Ta có: $HB = \frac{{BC}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12{,}5\;\,({\rm{cm)}}{\rm{.}}$

Xét vuông tại $H$, ta có:

$\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{12{,}5}}{{40}}$ hay $\widehat {BAH} = 18^\circ 12'$ nên $\widehat {BAC} = 2 \cdot 18^\circ 12' = 36^\circ 24'$.

Vậy góc tạo bởi hai thanh compa là $36^\circ 24'.$

Chọn A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

• $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74$ nên $BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}$.

• $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7}$ nên $\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Vậy $BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C \approx 35^\circ 32'.$

Chọn B

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.

Khi thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn $6{\rm{0}}^\circ$ và $7{\rm{0}}^\circ$ thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường lần lượt là $AH$ và $A'H'$.

• Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có $AH = AB \cdot \cos A = 3{,}5\cos 60^\circ = 1{,}75\,\,({\rm{m}})$.

• Tam giác $A'B'H$ vuông tại $H$ có $A'H = A'B' \cdot \cos A' = 3{,}5\cos 70^\circ \approx 1{,}20\,\,({\rm{m}})$.

Do đó $1{,}20\, \le x \le 1{,}75$.

a) Sai. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ACD} = 45^\circ .$

b) Đúng. Xét tam giác $ACD$ vuông tại $A$, ta có: $CD = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{AC}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = AC\sqrt 2 \,\,{\rm{(cm)}}.$

c) Sai. Ta có: $\tan \widehat {AEC} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AEC} \approx 27^\circ < 30^\circ .$

d) Đúng. Ta có: $\tan \widehat {AEC} + \tan \widehat {ABC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.$

Theo bài ra ta có $MC = NB = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$ và $M'C' = N'B' = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$.

a) Đúng. Tam giác $ANM$ vuông tại $N$ nên $AN = AM.\sin M$.

So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là $AB = AN + NB$.

Do đó $AB = 100\sin 42^\circ + 1{,}55 \approx 68{,}46\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng $68{,}46\,\,{\rm{m}}.$

b) Sai. Tam giác $A'N'M'$ vuông tại $N'$ nên $A'N' = A'M'.\sin M'$.

So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là $A'B' = A'N' + N'B'$.

Do đó $A'B' = 96\sin 45^\circ + 1{,}55 \approx 69{,}43\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng $69{,}43\,\,{\rm{m}}.$

c) Đúng. Vì$A'B' > AB$, hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.

d) Sai. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn: $69{,}43\, - 68{,}46\,\, = 0{,}97\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Lời giải

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có:

$\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\sin 58^\circ = \frac{{AB}}{{4{,}8}}$ nên $AB = 4{,}8 \cdot \sin 58^\circ \approx 4\;\,({\rm{m)}}$.

Vậy độ cao của tầng lửng mà anh thiết kế là $4{\rm{ m}}.$

Đáp án: 4.

Giả sử bóng trên mặt đất của cột đèn và tia nắng mặt trời tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Suy ra cùng lúc đó, bóng trên mặt đất của tòa nhà và tia nắng mặt trời cũng tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4}$. (1)

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $E$ nên $\tan \alpha = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{80}}$. (2)

Từ (1), (2), ta thu được $\frac{{DE}}{{80}} = \frac{7}{4}.$

Do đó $DE = \frac{7}{4} \cdot 80 = 140$ (m).

Như vậy, chiều cao của tòa nhà là $140\,\,{\rm{m}}.$

Vậy tòa nhà đó cao $140:2 = 70$ (tầng).

Đáp án: 70.

Lời giải

Gọi $D$ và $E$ lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí $B$ và $C.$

Gọi $I$ là hình chiếu của điểm $D$ trên $AH$.

So với mặt đất thì $BD$ và $CE$ là phương thẳng đứng; $HC$ và $IE$ là phương ngang nên các tứ giác $IHBD,\,\,IHCE,\,\,DBCE$ là hình chữ nhật.

Do đó $DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}$; $IH = DB = EC = 1{,}6\,\,{\rm{m}}$.

• Xét $\Delta AID$ vuông tại $I$ nên:

$ID = AI \cdot \,\cot \widehat {ADI} = AI \cdot \,\cot 34^\circ = AI \cdot \tan 56^\circ$ (do $\cot 34^\circ = \tan 56^\circ$). $\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta AIE$ vuông tại $I$ nên:

$IE = AI \cdot \,\cot \widehat {AEI} = AI \cdot \,\cot 30^\circ = AI \cdot \tan 60^\circ$ (do $\cot 30^\circ = \tan 60^\circ$). $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $IE - ID = AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right)$

$$AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right) = 475$$

$$AI = \frac{{475}}{{\tan 60^\circ - \tan 56^\circ }} \approx 1\,\,903{,}9\,\,({\rm{m}}).$$

Chiều cao $AH$ của ngọn núi là:

$$AH = AI + IH \approx 1903{,}9\, + 1{,}6\, \approx 1906\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$$

Vậy chiều cao $AH$ của ngọn núi là $1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 1906.