Đề kiểm tra Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án - Đề 1

Chọn A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác $MNP$ vuông tại $M$ nên $\cos \alpha = \frac{{MP}}{{NP}}.$

Chọn B

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có góc $x$ và góc $y$ là hai góc phụ nhau nên

$\sin y = \cos x \approx 0{,}78$ và $\tan y = \cot x \approx 1{,}25$.

Chọn A

Kẻ đường cao $AH$.

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $BH = AB.\cos B = AB.\cos 60^\circ = 16.\frac{1}{2} = 8$

$AH = AB.\sin B = AB.\sin 60^\circ = 16.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $AHC$ vuông $H,$ ta có:

$H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4$.

Suy ra $HC = 2$.

Vậy $BC = CH + HB = 2 + 8 = 10$.

Chọn B

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\tan 50^\circ = \frac{{AB}}{{15}}$.

Suy ra $AB = 15 \cdot \tan 50^\circ \approx 18\;\,({\rm{m)}}$.

Vậy chiều cao $AB$ của cây khoảng 18 m.

Chọn D

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

• $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $AB = AC \cdot \tan C = 10\tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}$;

• $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}$ nên $BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}$.
Vậy $AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}};\,\,BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}$.

Chọn C

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.

Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ lên đoạn $AH$.

Vì $MN$ và $BH$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; $MB$ và $NH$ nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác $MBHN$ là hình chữ nhật.

Suy ra $NH = MB = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$; $MN = BH = 13{,}65\,\,{\rm{m}}$.

Tam giác $ANM$ vuông tại $N$ nên $AN = MN \cdot \tan M.$

Ta có:$AH = AN + NH$suy ra $AH = MN \cdot \tan M + NH$.

Do đó $AH = 13{,}65 \cdot \tan 58^\circ + 1{,}55 \approx 23{,}39\,\,({\rm{m}}).$

Vậy chiều cao của tháp khoảng $23{,}39\,\,{\rm{m}}$.

a) Sai. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ABD$ vuông tại $D,$ ta có $BD = AD \cdot \cot B.$

b) Đúng. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ACD$ vuông tại $D,$ ta có $AD = CD \cdot \tan C.$

c) Đúng. Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ADC$ có: O10-2024-GV154

$\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$);

$\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ$.

Do đó .

Suy ra $\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ nên $BD \cdot CD = DH \cdot AD$.

d) Đúng. Theo giả thiết: $\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}$O10-2024-GV154 hay $\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}$ nên $AD = 3HD.$

Do đó $\tan B \cdot \tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3$.

Theo bài ra ta có $MC = NB = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$ và $M'C' = N'B' = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$.

a) Đúng. Tam giác $ANM$ vuông tại $N$ nên $AN = AM.\sin M$.

So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là $AB = AN + NB$.

Do đó $AB = 100\sin 42^\circ + 1{,}55 \approx 68{,}46\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng $68{,}46\,\,{\rm{m}}.$

b) Sai. Tam giác $A'N'M'$ vuông tại $N'$ nên $A'N' = A'M'.\sin M'$.

So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là $A'B' = A'N' + N'B'$.

Do đó $A'B' = 96\sin 45^\circ + 1{,}55 \approx 69{,}43\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng $69{,}43\,\,{\rm{m}}.$

c) Đúng. Vì$A'B' > AB$, hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.

d) Sai. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn: $69{,}43\, - 68{,}46\,\, = 0{,}97\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có:

$\sin A = \frac{{BC}}{{AC}}$ hay $\sin 24^\circ = \frac{{BC}}{{0{,}6}}$ nên $BC = 0{,}6 \cdot \sin 24^\circ = 0{,}24\,\,({\rm{m}})$.

Vậy mặt bàn viết được nâng lên $0{,}24\,\;{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 0,24.

Giả sử bóng trên mặt đất của cột đèn và tia nắng mặt trời tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Suy ra cùng lúc đó, bóng trên mặt đất của tòa nhà và tia nắng mặt trời cũng tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4}$. (1)

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $E$ nên $\tan \alpha = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{80}}$. (2)

Từ (1), (2), ta thu được $\frac{{DE}}{{80}} = \frac{7}{4}.$

Do đó $DE = \frac{7}{4} \cdot 80 = 140$ (m).

Như vậy, chiều cao của tòa nhà là $140\,\,{\rm{m}}.$

Vậy tòa nhà đó cao $140:2 = 70$ (tầng).

Đáp án: 70.

Lời giải

Đặt $AH = x\,\,(\;{\rm{m}}),\,\,x > 0$.

• Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có:

$\tan C = \frac{{AH}}{{CH}}$ hay $\tan 35^\circ = \frac{x}{{CH}}$ nên $CH = \frac{x}{{\tan 35^\circ }}$.

• Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có:

$\tan B = \frac{{AH}}{{BH}}$ hay $\tan 45^\circ = \frac{x}{{BH}}$ nên $BH = \frac{x}{{\tan 45^\circ }}$.

Ta có: $BH + CH = BC$

$$\frac{x}{{\tan 35^\circ }} + \frac{x}{{\tan 45^\circ }} = 3{,}58$$

$$x\left( {\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}} \right) = 3{,}58$$

$x = \frac{{3{,}58}}{{\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}}} \approx 1{,}44\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Độ cao của cầu trượt là $1{,}44\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 1,44.