Đề kiểm tra Toán 9 Cánh diều Chương 4 có đáp án - Đề 1

Chọn D

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc $\alpha ,$ kí hiệu cot $\alpha .$

Do đó, khẳng định D sai.

Chọn B

Đặt $BN = x\,\,({\rm{cm)}}\,\,\,\left( {0 < x < 11} \right)$ Khi đó $NC = 11 - x\,\,({\rm{cm)}}{\rm{.}}$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có $AN = BN \cdot \tan B = x \cdot \tan 40^\circ$.

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $AN = CN \cdot \tan C = \left( {11 - x} \right)\tan 30^\circ$.

Suy ra $x\tan 40^\circ = \left( {11 - x} \right)\tan 30^\circ$ nên $x \approx 4{,}48\,\,{\rm{cm}}$ (thoả mãn).

Khi đó $AN = BN \cdot \tan B = 4{,}48 \cdot \tan 40^\circ \approx 3{,}76\,\,({\rm{cm)}}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$$AB = AC \cdot \tan \widehat C = 12\tan 40^\circ \approx 10{,}07\,\,({\mathop{\rm m}\nolimits} ).$$

Vậy chiều cao cột cờ $AB$ khoảng $10{,}07\,\,{\mathop{\rm m}\nolimits} .$

Chọn B

Kẻ đường cao $AH.$

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có:

$$BH = AB \cdot \cos B = AB \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\,\,({\rm{cm)}}{\rm{.}}$$

$AH = AB \cdot \sin B = AB \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \,\,({\rm{cm)}}.$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $AHC$, ta có: $H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = 117$.

Suy ra $HC = 3\sqrt {13} \,\,({\rm{cm)}}$.

Vậy $BC = CH + HB = 3\sqrt {13} + 6\,\,({\rm{cm)}}$.

Chọn C

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:

$$BH = AB \cdot \cos \widehat {HBA} = 4{,}8 \cdot \,\cos 32^\circ \approx 4{,}1\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}$$

Vậy chiều cao của thang so với mặt đất là ${\rm{4{,}1}}\,\,{\rm{m}}$.

Chọn A

Độ dài thang máy từ $1$ lên tâng $2$ là đoạn $AB$.

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có: $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{{4{,}2}}{{\sin 35^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$

Vì thang máy có tốc độ truyền là $0{,}65\,\,{\rm{m/s}}$ nên thời gian để một người di chuyển từ tầng $1$ lên tầng $2$ bằng thang cuốn là: $\frac{{AB}}{{0{,}65}} = \frac{{4{,}2}}{{0{,}65 \cdot \sin 35^\circ }} \approx 11{,}3$ (giây).

a) Sai. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ACD} = 45^\circ .$

b) Đúng. Xét tam giác $ACD$ vuông tại $A$, ta có: $CD = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{AC}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = AC\sqrt 2 \,\,{\rm{(cm)}}.$

c) Sai. Ta có: $\tan \widehat {AEC} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AEC} \approx 27^\circ < 30^\circ .$

d) Đúng. Ta có: $\tan \widehat {AEC} + \tan \widehat {ABC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.$

Theo bài ra ta có $MC = NB = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$ và $M'C' = N'B' = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$.

a) Đúng. Tam giác $ANM$ vuông tại $N$ nên $AN = AM.\sin M$.

So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là $AB = AN + NB$.

Do đó $AB = 100\sin 42^\circ + 1{,}55 \approx 68{,}46\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng $68{,}46\,\,{\rm{m}}.$

b) Sai. Tam giác $A'N'M'$ vuông tại $N'$ nên $A'N' = A'M'.\sin M'$.

So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là $A'B' = A'N' + N'B'$.

Do đó $A'B' = 96\sin 45^\circ + 1{,}55 \approx 69{,}43\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng $69{,}43\,\,{\rm{m}}.$

c) Đúng. Vì$A'B' > AB$, hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.

d) Sai. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn: $69{,}43\, - 68{,}46\,\, = 0{,}97\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Lời giải

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan A = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $\tan 62^\circ = \frac{{BH}}{{175}}$ nên $BH = 175 \cdot \tan 62^\circ = 329\;\,({\rm{m}})$.

Vậy chiều cao của tháp Eiffel là $329\;\,{\rm{m}}.$

Đáp án: 329.

Đổi 150 phút $= \frac{{150}}{{60}} = 2{,}5$ giờ.

Quãng đường xe thứ nhất đi được sau $2{,}5$ giờ là: $AB = 40 \cdot 2{,}5 = 100\;\,\,({\rm{km}}).$

Quãng đường xe thứ hai đi được sau $2{,}5$ giờ là: $AC = 50 \cdot 2{,}5 = 125\;\,\,({\rm{km}})$.

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\cos A = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $\cos 60^\circ = \frac{{AH}}{{100}}$ nên $AH = 100 \cdot \cos 60^\circ = 50\;\,\,({\rm{km)}}$.

Khi đó $HC = AC - AH = 125 - 50 = 75\,\,({\rm{km}}).$

$BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{100}^2} - {{50}^2}} \approx 86{,}6\;\,\,({\rm{km}}).$ (theo định lí Pythagore)

Xét $\Delta BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$BC = \sqrt {B{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {86,{6^2} + {{75}^2}} \approx 115\;\,\,({\rm{km}})$. (theo định lí Pythagore)

Vậy sau khi khởi hành 150 phút, hai xe cách nhau $115\;\,{\rm{km}}$.

Đáp án: 115.

Lời giải

Gọi $D$ và $E$ lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí $B$ và $C.$

Gọi $I$ là hình chiếu của điểm $D$ trên $AH$.

So với mặt đất thì $BD$ và $CE$ là phương thẳng đứng; $HC$ và $IE$ là phương ngang nên các tứ giác $IHBD,\,\,IHCE,\,\,DBCE$ là hình chữ nhật.

Do đó $DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}$; $IH = DB = EC = 1{,}6\,\,{\rm{m}}$.

• Xét $\Delta AID$ vuông tại $I$ nên:

$ID = AI \cdot \,\cot \widehat {ADI} = AI \cdot \,\cot 34^\circ = AI \cdot \tan 56^\circ$ (do $\cot 34^\circ = \tan 56^\circ$). $\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta AIE$ vuông tại $I$ nên:

$IE = AI \cdot \,\cot \widehat {AEI} = AI \cdot \,\cot 30^\circ = AI \cdot \tan 60^\circ$ (do $\cot 30^\circ = \tan 60^\circ$). $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $IE - ID = AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right)$

$$AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right) = 475$$

$$AI = \frac{{475}}{{\tan 60^\circ - \tan 56^\circ }} \approx 1\,\,903{,}9\,\,({\rm{m}}).$$

Chiều cao $AH$ của ngọn núi là:

$$AH = AI + IH \approx 1903{,}9\, + 1{,}6\, \approx 1906\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$$

Vậy chiều cao $AH$ của ngọn núi là $1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 1906.