Đề kiểm tra Toán 8 Chương 9 (có đáp án) - Đề 2

Chọn D.

$ΔHBA∽ΔABC$ (g.g) vì có $\widehat {B\,}$ là góc chung và $\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ (1).

$ΔHAC∽ΔABC$ (g.g) vì có $\widehat {C\,}$ là góc chung và $\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $ΔHBA∽ΔHAC$.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Chọn C.

Điều kiện $\widehat {N\,} = \widehat {F\,}$vì $N,\,\,F$ không phải là hai đỉnh tương ứng.

Chọn B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ hay $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12$ (cm).

Chọn B.

Gọi $a$ là cạnh hình vuông (cm, $a > 0).$

Theo định lí Pythagore, bình phương độ dài đường chéo hình vuông là:

${d^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = {8^2}$

Suy ra ${a^2} = \frac{{{8^2}}}{2} = 32$.

Diện tích hình vuông $S = {a^2} = 32$ (cm$^{2}$).

Chọn B.

Vì $ΔABC∽ΔDEF$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{2}{3}$ nên tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{AC}}{{DF}} = k = \frac{2}{3}$ và các góc tương ứng bằng nhau $\widehat {A\,\,} = \widehat {D\,};\,\,\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$ và $\widehat {C\,} = \widehat {F\,}$.

Vậy $\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}$.

Chọn B.

Vì $MN\,{\rm{//}}\,BC$ suy ra $ΔAMN∽ΔABC$ với tỉ số đồng dạng là:

$k = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AM + MB}} = \frac{3}{{3 + 2}} = \frac{3}{5}.$

Kẻ $AK \bot BC$ cắt $MN$ tại $H$ do $MN\,{\rm{//}}\,BC$ nên $AH \bot MN$.

Do $MH\,{\rm{//}}\,BK$ (do $MN\,{\rm{//}}\,BC$), theo định lí Thales ta có: $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{AK}} = \frac{3}{5}\,\,\left( { = k} \right)$.

Tỉ số diện tích: $\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AH \cdot MH}}{{\frac{1}{2}AK \cdot BK}} = \frac{{AH}}{{AK}} \cdot \frac{{MH}}{{BK}} = {k^2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{{25}}$.

Do đó, ${S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta AMN}} \cdot \frac{{25}}{9} = 18 \cdot \frac{{25}}{9} = 50$ (cm$^{2}$).

Vậy ${S_{ABC}} = 50$ cm$^{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100$ suy ra $BC = \sqrt {100} = 10$ (cm).

b) Đúng. Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có:

$\widehat {AHB\,} = \widehat {CHA} = 90^\circ$ và $\widehat {HAB} = \widehat {HCA}$ (cùng phụ với $\widehat {B\,}$)

Do đó $ΔAHB∽ΔCHA$ (g.g) suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $A{H^2} = BH \cdot CH$.

c) Sai. Tứ giác $ADHE$ có $\widehat {A\,}\, = \widehat {D\,} = \widehat {E\,} = 90^\circ$ nên $ADHE$ là hình chữ nhật. Do đó, hai đường chéo $DE = AH$.

Mặt khác, ${S_{ABC}} = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}AH \cdot BC$ suy ra $AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4{,}8$ (cm).

Vậy $DE = AH = 4{,}8$ cm.

d) Sai. Ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ (cm$^{2}$) .

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có:

$BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{6^2} - {{4{,}8}^2}} = \sqrt {36 - 23{,}04} = 3{,}6$ (cm).

Từ $A{H^2} = BH \cdot CH$ suy ra $CH = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{{4{,}8}^2}}}{{3{,}6}} = 6{,}4$ (cm).

Chứng minh tương tự được (g.g) suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $AD = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{{{4{,}8}^2}}}{6} = 3{,}84$ (cm).

Xét $ΔAEH∽ΔAHC$ (g.g) (chứng minh tương tự) suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ hay $AE = \frac{{A{H^2}}}{{AC}} = \frac{{{{4{,}8}^2}}}{8} = 2{,}88$ (cm).

${S_{ADHE}} = AD \cdot AE = 3{,}84 \cdot 2{,}88 = 11{,}0592$ (cm$^{2}$).

$\frac{{{S_{ADHE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{11{,}0592}}{{24}} = 0{,}4608$.

Vì tam giác $A'B'C'$ đồng dạng phối cảnh với $\Delta ABC$ theo tỉ số $k = 2$ nên diện tích của hình tương ứng ${S_{A'D'H'E'}} = A'D' \cdot A'E' = \left( {k \cdot AD} \right) \cdot \left( {k \cdot AE} \right) = {k^2} \cdot \left( {AD \cdot AE} \right) = {k^2} \cdot {S_{ADHE}}$ .

Do đó ${S_{A'D'H'E'}} = 4 \cdot 11{,}0592 = 44{,}2368$ (cm$^{2}$).

Vậy diện tích phần bìa hình tứ giác tương ứng $A'D'H'E'$ trên tấm bìa mới bằng $44{,}2368$ cm$^{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 = {5^2} = B{C^2}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Sai. Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CAB$ có: $\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ và $\widehat {B\,}$ chung

Do đó $ΔAHB∽ΔCAB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{HB}}{{AB}}$ hay $A{B^2} = BH \cdot BC$.

Chứng minh tương tự ta được $A{C^2} = CH \cdot BC$.

Vậy $A{B^2} = BH \cdot BC$ và $A{C^2} = CH \cdot BC$.

c) Sai. Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ và $\widehat {ABH} = \widehat {CAH}$ (cùng phụ $\widehat {BAH}$)

Do đó $ΔAHB∽ΔCHA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $A{H^2} = BH \cdot CH$.

Lại có, vì $A{B^2} = BH \cdot BC$ nên $BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{3^2}}}{5} = 1{,}8$ (cm).

Vì $A{C^2} = CH \cdot BC$ nên $CH = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{{4^2}}}{5} = 3{,}2$ (cm).

Thay $BH = 1{,}8$ cm và $CH = 3{,}2$ cm vào biểu thức $A{H^2} = BH \cdot CH$ ta được

$A{H^2} = 1{,}8 \cdot 3{,}2 = 5{,}76$ (cm) suy ra $AH = 2{,}4$ (cm).

Vậy độ dài đường cao $AH = 2{,}4$ cm và thỏa mãn hệ thức $A{H^2} = BH \cdot CH$.

d) Đúng. Vì $ΔAHB∽ΔCHA$ nên $\frac{{AB}}{{CA}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{AH}}$.

Suy ra $\frac{{AB}}{{2BN}} = \frac{{AC}}{{2AM}}$ (vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$).

Hay $\frac{{AB}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{AM}}$.

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta CMA$ có $\widehat {ABN} = \widehat {CAM}$ (do $\widehat {ABH} = \widehat {CAH}$) và $\frac{{AB}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{AM}}$

Do đó $ΔANB∽ΔCMA$ (g.g).

Áp dụng định lý Pythagore cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {36 + 64} = \sqrt {100} = 10$ (cm).

Vì $BD$ là phân giác của $\widehat {ABC}$, ta có $\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

Mặt khác, $AD + CD = AC = 8$ (cm) suy ra $CD = \frac{5}{{3 + 5}} \cdot AC = \frac{5}{8} \cdot 8 = 5$ (cm).

Vì $\Delta BCD$ và $\Delta ABC$ có chung đường cao hạ từ $B$ xuống $AC$ (chính là $AB = 6$ cm) nên: ${S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ (cm$^{2}$).

Đáp án: 15.

Bài toán được mô tả như hình vẽ, trong đó $AB = 1{,}5$ m là khoảng cách từ chân đến mắt người đó; $EF$ là chiều cao của cây; $CD = 2{,}4$ m là chiều cao cọc và $CF = 18$ m là khoảng cách từ cọc đến cây.

Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AF$ (mặt đất), cắt $CD$ tại $H$. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BH$.

Dễ dàng chứng minh được $ABHC,\,\,ABKF$ là hình chữ nhật nên $BH = AC = 1{,}2$ m, $KF = HC = AB = 1{,}5$ m và $BK = AF = AC + CF = 1{,}2 + 18 = 19{,}2$ m.

Vì $DH\,{\rm{//}}\,EK$ (cùng vuông góc với mặt đất) nên $ΔBDH∽ΔBEK$.

Suy ra $\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{DH}}{{EK}} = \frac{{DC - HC}}{{EK}}$ hay $\frac{{1{,}2}}{{19{,}2}} = \frac{{2{,}4 - 1{,}5}}{{EK}}$.

Do đó $EK = \frac{{19{,}2 \cdot 0{,}9}}{{1{,}2}} = 14{,}4$ (m).

Vậy chiều cao của cây là $EF = EK + KF = 14{,}4 + 1{,}5 = 15{,}9$ (m).

Đáp án: 15,9.

Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$ có $\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ và $\widehat {ABC\,}$ là góc chung.

Do đó $ΔBHA∽ΔBAC$ (g.g) suy ra $\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}}$ hay $B{A^2} = BH \cdot BC$.

Lại có $BM = BA$ suy ra $B{M^2} = BH \cdot BC$ (1).

Xét $\Delta BHD$ và $\Delta BKC$ có $\widehat {BHD} = \widehat {BKC} = 90^\circ$ và $\widehat {DBH\,}$ là góc chung.

Do đó $ΔBHD∽ΔBKC$ (g.g) suy ra $\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BD}}{{BC}}$ hay $BK \cdot BD = BH \cdot BC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $B{M^2} = BK \cdot BD$ hay $\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BK}}{{BM}}$.

Xét $\Delta BMK$ và $\Delta BDM$ có $\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BK}}{{BM}}$ (cmt) và $\widehat {MBK}$ chung.

Do đó $ΔBMK∽ΔBDM$ (c.g.c) suy ra $\widehat {BMD} = \widehat {BKM}$ (hai góc tương ứng).

Mà $BK \bot MC$ suy ra $\widehat {BKM} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat {BMD} = 90^\circ$.

Đáp án: 90.