Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án - Đề 2

Chọn C

Ta có $\int {2025\sin x\,{\rm{d}}x} = - 2025\cos x + C$.

Chọn B

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{e^x} + 2\sin x} \right)} } \,{\rm{d}}x = {e^x} - 2\cos x + C$

Mà $F\left( 0 \right) = 20 \Leftrightarrow {e^0} - 2\cos 0 + C = 20 \Leftrightarrow C = 21$ .

Vậy $F\left( x \right) = {e^x} - 2\cos x + 21$.

Chọn A

$$\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 + \left( { - 2} \right) = 1.$$

Chọn B

Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ có thể tích là

$V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{406}}{{15}}\pi$.

Chọn B

Ta có: $\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - 3} \Leftrightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) = - 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = - 3 + f\left( 0 \right) = - 3 + 1 = - 2$.

Chọn A

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_0^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^c {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_c^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

a) Đúng.

b) Đúng. $\int {v\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( { - 10t + 20} \right)\,{\rm{dt}}} = - 5{t^2} + 20t + C$.

Suy ra: $S\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t + C$; $S\left( 0 \right) = 0$$\Rightarrow C = 0$$\Rightarrow S\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t$.

c) Sai. Ô tô dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow t = 2$.

d) Đúng. $65\,{\rm{km/h}}\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{325}}{{18}}\,{\rm{m/s}}$.

Người lái xe phản ứng một giây khi phát hiện chướng ngại vật, sau giây đó ô tô đi được $\frac{{325}}{{18}}\,\left( {\rm{m}} \right).$

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là:

$S\left( 2 \right) = - {5.2^2} + 20.2 = 20\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy quãng đường ô tô đi được kể từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi ô tô dừng hẳn là:

$\frac{{325}}{{18}} + 20 = \frac{{685}}{{18}}\,\left( {\rm{m}} \right) < 50\,\left( {\rm{m}} \right)$. Suy ra, ô tô không va chạm vào chướng ngại vật trên đường.

a) Đúng. Ta có $V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} }$.

Vậy hàm số $V\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right) = k.\sqrt t$.

b) Đúng. Ta có $V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } = \frac{{2k}}{3}.t\sqrt t + C$, với $0 \le t \le 24$ và $k,\,\,C$ là các hằng số.

c) Sai. Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu nên $V\left( 0 \right) = 50\,000 \Rightarrow C = 50\,000$.

Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít nên ta có:

$V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4 + 50000 = 58000 \Leftrightarrow k = 1500$.

Vậy $V\left( t \right) = 1\,000.t\sqrt t + 50\,000$.

Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được:

$V\left( {16} \right) = 1\,000.16\sqrt 6 + 50\,000 = 114\,000$ lít.

d) Đúng. Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ $500$ lít/giờ, thì tại thời điểm $t$ bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là

$V\left( 9 \right) = 1\,000.9\sqrt 9 + 50\,000 - 500.9 = 72\,500$ lít.

Gọi ${P_A}\left( t \right)$ là số lượng khách hàng luỹ kế của công ty A với $t$ là số tháng kể từ khi ra mắt sản phẩm ($t > 0$).

Ta có ${P_A}\left( t \right) = \int {f\left( t \right)dt = \int {\left( {2t + 7} \right)} } dt = {t^2} + 7t + C$.

Công ty A bắt đầu với 0 khách hàng nên ${P_A}\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {0^2} + 7.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$.

Vậy ${P_A}\left( t \right) = {t^2} + 7t$.

Vì công ty B bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng, nên số lượng khách hàng lũy kế của công ty B sau $t$ tháng ra mắt sản phẩm là ${P_B}\left( t \right) = 10 + 10t$ ($t > 0$).

Ta có ${P_A}\left( t \right) = {P_B}\left( t \right) \Leftrightarrow {t^2} + 7t = 10 + 10t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 10\\t = 5\end{array} \right.$.

Vì $t > 0$ nên $t = 5$.

Vậy sau 5 tháng ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu).

Đáp án: 5.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Khi đó $A\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {0;3} \right).$

Parabol đi qua ba điểm $A\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {0;3} \right)$ nên parabol có phương trình là $y = - {x^2} + 3.$

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $O\left( {0;1} \right)$ và bán kính $R = 2$ nên có phương trình là ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$.

Suy ra $y = 1 - \sqrt {4 - {x^2}}$ (Phần nằm dưới trục hoành).

Diện tích phần gạch là $S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left[ { - {x^2} + 3 - \left( {1 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]{\rm{d}}x}$.

Do đó diện tích phần không gạch là $S' = \pi {.2^2} - S \approx 3{,}18\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}$

Đáp án: 3,18.

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Gọi $L\left( x \right)$ là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.

Theo đề ta có, $L\left( x \right)$là một parabol đi qua ba điểm $\left( {0;13\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {30;10\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {{x_o};\frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right)$ , trong đó ${x_o}$ là vị trí toà nhà có cạnh cạnh ${L_{min}} = 13{,}75\;{\rm{m}}{\rm{.}}$

Ta có $L\left( x \right) = a{\left( {x - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}$.

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}L\left( 0 \right) = a{\left( {0 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 13\sqrt 2 \\L\left( {30} \right) = a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 10\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{\left( {{x_o}} \right)^2} = \frac{{49\sqrt 2 }}{8}\\a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{8}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{{{x_o}^2}}{{{{\left( {30 - {x_o}} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 105\,\left( L \right)\\{x_o} = 17{,}5\,\,\left( {TM} \right) \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}\end{array} \right.\,$

Suy ra $L\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{\left( {x - 17{,}5} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}$.

Do đó, diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = 2{\left[ {L\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17{,}5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]^2}$.

Vậy thể tích của toà nhà là $V = \int\limits_0^{30} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{30} {2{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17{,}5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \approx 8976\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Đáp án: 8976.