Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 1 có đáp án - Đề 2

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;0} \right)$.

Vậy chọn đáp án D.

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy đạo hàm $y'$ của hàm số chỉ đổi dấu một lần khi $x$ đi qua ${x_0} = 1$ nên hàm số chỉ có một cực trị duy nhất, do đó phương án D sai.

Chọn C

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;5} \right]$ bằng $3$.

Chọn B

Ta có: $2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}$.

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra số nghiệm phương trình $2f\left( x \right) - 5 = 0$ là $1$.

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang.

Chọn D

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a > 0$

(do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right) = + \infty$ nếu $a > 0$ ). Loại A, B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên chọn D.

a) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ta thấy $f'\left( x \right) \ge 0$ với $\forall x \ge 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ta thấy $f'\left( x \right)$ chỉ đổi dấu một lần qua $x = 1$ nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số $f'\left( x \right)$ có dạng: $f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$đi qua $\left( {0; - 4} \right)$ nên: $- 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1$.

Vậy $f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16$.

d) Đúng. Ta có: $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1$.

Vẽ đường thẳng $y = x - 1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$.

Khi đó: $f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$.

Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$.

a) Đúng.Thời gian tàu chạy quãng đường $1$km là: $\frac{1}{{10}}$ (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: $\frac{1}{{10}} \cdot 480000 = 48000.$ (đồng).

b) Sai.Gọi $x$(km/h) là vận tốc của tàu, $x > 0$.

Thời gian tàu chạy quãng đường $1$km là: $\frac{1}{x}$ (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: $\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}$(nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là $p = k{x^3}$ (nghìn đồng/ giờ).

Khi $x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0{,}03$ nên $p = 0{,}03{x^3}$ (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần 2 để chạy $1$km là: $\frac{1}{x} \cdot 0{,}03{x^3} = 0{,}03{x^2}$(nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí: $f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0{,}03{x^2}$.

c) Đúng.Tổng chi phí: $f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0{,}03{x^2}$.

Thay $x = v = 30$(km/giờ) vào ta có $f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,{03.30^2} = 43$(nghìn đồng).

d) Đúng.$f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0{,}03{x^2} = \frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{x} + 0{,}03{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{1728}} = 36.$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 20$.

Đặt $BC = x\,\left( {\rm{m}} \right)\,$với $0 < x < 1$.

Theo đề bài ta có : $AB.BC = 0\,,48 \Rightarrow AB = \frac{{0\,,48}}{{BC}} = \frac{{0\,,48}}{x}$.

Xét hàm số $T = f\left( x \right) = AB + \,BC + CD = x + 2.AB = x + \frac{{0\,,96}}{x}$.

Đạo hàm $f'\left( x \right) = 1 - \frac{{0\,,96}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 0\,,96 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{5} \simeq 0{,}98\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy chiều rộng đáy mương $BC = 0{,}98\,\left( {\rm{m}} \right)\,$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 0,98.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1700 - 7x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{1700}}{7}$.

Doanh thu được khi công ty sản xuất và tiêu thụ hết $x$ sản phẩm là $R\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}$.

Do đó, lợi nhuận thu được là

$P\left( x \right) = xp\left( x \right) - C\left( x \right)$$= 1700x - 7{x^2} - \left( {16\,000 + 500x - 1{,}6{x^2} + 0{,}004{x^3}} \right)$

$P\left( x \right) = - 0{,}004{x^3} - 5{,}4{x^2} + 1200x - 16\,000$, $0 < x < \frac{{1700}}{7}$.

$P'\left( x \right) = - 0{,}012{x^2} - 10{,}8x + 1200$; $P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0{,}012{x^2} + 10{,}8x + 1200 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1000\\x = 100\end{array} \right.$.

Đối chiếu điều kiện ta có $x = 100$.

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thu được kết quả là

$\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {100} \right) = 46\,000$ (nghìn đồng).

Vậy công ty cần sản xuất 100 sản phẩm thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Đáp án: 100.

Gọi chiều rộng của bể là $3x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$. Ta có chiều dài bể là $4x{\rm{ (m)}}$ và chiều cao của bể là $\frac{2}{{3{x^2}}}\left( {\rm{m}} \right).$

Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:

$T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}} = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chi phí $C$(tính theo đồng) xây dựng là: $C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000$ (đồng).

Vậy chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là $28$ triệu đồng.

Đáp án: 28.