Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án - Đề 01

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $H$ là giao điểm của $SO$ và $CM$.

Vì $SO,CM$ là trung tuyến nên H là trọng tâm của tam giác $SAC$ $\Rightarrow \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3}$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $I$ là giao điểm của $DH$ và $SB$.

Mà $DH \subset \left( {MCD} \right)$ nên $I = SB \cap \left( {MCD} \right)$.

Xét tam giác $SBD$ có $SO$ là trung tuyến và $\frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3}$ nên $H$ là trọng tâm của tam giác $SBD$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $SB$. Chọn B.

$M$ là trung điểm của cạnh $SC$, $N$ là trung điểm của $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta SCD$.

Suy ra $MN//CD$.

Mà $AB//CD$ nên $MN//AB$. Chọn C.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kẻ $ON//SB\left( {N \in SD} \right)$ mà $O$ là trung điểm $BD$ nên $N$ là trung điểm của $SD$.

Do đó hình chiếu song song của điểm $O$ lên $\left( {SAD} \right)$ theo phương của đường thẳng $SB$ là $N$. Chọn D.

Gọi $H$ là giao điểm của $AN$ và $CM$.

Suy ra $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó $\left( {MCD} \right) \cap \left( {ADN} \right) = DH$. Chọn C.

a) Ta có $IC//C'J$ mà $C'J \subset \left( {A'B'C'} \right)$ nên $IC//\left( {A'B'C'} \right)$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ có $A'I$ cắt $BB'$. Do đó $\left( {A'IC} \right)$ không song song $\left( {BC'B'} \right)$.

c) Trong mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ có $IM$ cắt $B'E$. Do đó $\left( {EB'C'} \right)$ không song song $\left( {IMN} \right)$.

d) Trong mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$, giả sử $F = AC' \cap A'C$ nên F là trung điểm của $AC'$(1).

Mà $E = A'I \cap AJ$. Suy ra $\left( {A'IC} \right) \cap \left( {AJC'} \right) = EF$.

Lại có $AIJA'$ là hình bình hành nên $E$là trung điểm của $AJ$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $EF$ là đường trung bình của tam giác $AJC'$. Suy ra $EF//C'J$.

Mà $C'J \subset \left( {A'B'C'} \right)$ nên $EF//\left( {A'B'C'} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Có $S.ABCD$là hình chóp nên$AB$ và $SC$ là hai đường thẳng chéo nhau.

b) Vì $\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//BC$.

c) Có $MN//BC \Rightarrow \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{2}{3}$$\Rightarrow MN = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$.

d) Vì $\Delta OAB$ và $\Delta OCD$ là hai tam giác đồng dạng nên $\frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OC = \frac{1}{2}OA \Rightarrow \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3}$.

Xét $\Delta SAC$ có $\frac{{CM}}{{SC}} = \frac{{CO}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow OM//SA$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Gọi I là giao điểm của $MN$ và $CD$.

Mà $CD \subset \left( {BCD} \right)$ nên $I = MN \cap \left( {BCD} \right)$.

Kẻ $DE//AC\left( {E \in IM} \right)$.

Do $DE//CM$ nên $\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{ED}}{{MC}} \Rightarrow \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{ED}}{{2AM}}$ (1).

Do $DE//AM$ nên $\frac{{ED}}{{AM}} = \frac{{ND}}{{NA}} = \frac{1}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{1}{4}$. Vậy $a + 2b = 9$.

Trả lời: 9.

Trong hình thang $ABCD$ ở mặt phẳng đáy, gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D,C$ lên $AB$.

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AH = BK = \frac{{AB - HK}}{2} = \frac{{AB - CD}}{2} = \frac{{50 - 30}}{2} = 10$ (cm).

Ta có $CK = \sqrt {B{C^2} - B{K^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{10}^2}} = 5\sqrt {21}$ (cm).

Suy ra diện tích hình thang $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot CK}}{2} = \frac{{\left( {50 + 30} \right) \cdot 5\sqrt {21} }}{2} = 200\sqrt {21}$ (cm2).

Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là giao điểm của $\left( \alpha \right)$ và các cạnh $SA,SB,SC,SD$.

Suy ra hình phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến chung của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình chóp là hình thang $MNPQ$ với $MN//PQ$.

Vì $\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)$ nên theo định lí Thales, ta có $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{5} \Rightarrow k = \frac{2}{5}$.

Vậy diện tích hình thang $MNPQ$ là

${S_{MNPQ}} = {k^2} \cdot {S_{ABCD}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \cdot 200\sqrt {21} = 32\sqrt {21} \approx 147$ (cm2).

Trả lời: 147.

$E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$ nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta BCD$.

Suy ra $EF//BD$.

Lại có $G \in \left( {GEF} \right) \cap \left( {ABD} \right)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua $G$và song song với $BD$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $M$ và $N$.

Có $\frac{{EF}}{{BD}} = \frac{1}{2};\frac{{MN}}{{BD}} = \frac{2}{3}$$\Rightarrow \frac{{EF}}{{MN}} = \frac{1}{2}:\frac{2}{3} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Trả lời: 0,75.