Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án - Đề 2

Ta có ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right) = {5^n} + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = {5^{n + 1}} + 1 - \left( {{5^n} + 1} \right) = 4 \cdot {5^n} > 0$.

Do đó ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ là dãy số tăng. Chọn C.

Có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3\\{u_4} = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 3\\{u_1} + 3d = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.

Khi đó ${u_{15}} = {u_1} + 14d = 1 + 14 \cdot 2 = 29$. Chọn C.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{S_{50}} = 5150\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{50}}{2}\left[ {2{u_1} + 49d} \right] = 5150\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{50}}{2}\left[ {10 + 49d} \right] = 5150\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 4\end{array} \right.$.

Công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n + 1$. Chọn B.

Đáp án: ${u_4} < 100$. b) $\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}$. c) Dãy số tăng và bị chặn. d) $1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = \frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}$.

a) Ta có ${u_4} = {3^4} = 81 < 100$.

b) ${u_1} = 3;{u_5} = 243;{u_9} = 19683$.

Có $\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{3 + 19683}}{2} = 9843 \ne {u_5}$.

c) Có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3 > 1$. Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.

Ta có ${3^n} \ge 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.

d) $1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = 1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{2024}} = \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} \ne \frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_3} = 36\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_1}{q^2} = 36\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\9{q^2} = 36\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.$ (vì $q > 0$).

b) ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 9 \cdot {2^{n - 1}}$.

c) Ta có ${u_6} = 9 \cdot {2^5} = 288$.

d) ${S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{9\left( {1 - {2^9}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Diện tích các tầng của tháp lập thành cấp số nhân với ${u_1} = 1000$ và $q = \frac{2}{3}$.

Khi đó tổng diện tích các tầng của tháp là ${S_9} = \frac{{1000\left[ {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^9}} \right]}}{{1 - \frac{2}{3}}} \approx 2922$m$^{2}$.

Trả lời: 2922.

Gọi ${u_n}$ là số ghế ở dãy thứ n.

Số ghế ở mỗi dãy lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 25;d = 3$.

Số ghế trong rạp hát là ${S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {2{u_1} + 29d} \right)$ $= 15\left( {2 \cdot 25 + 29 \cdot 3} \right) = 2055$ ghế.

Trả lời: 2055.

Ta có ${u_3} = {u_1} + 2d \Rightarrow 6 = - 2 + 2d \Rightarrow d = 4$.

Số hạng tổng quát là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 2 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 6$.

Ta có $4n - 6 = 2022 \Leftrightarrow 4n = 2028 \Leftrightarrow n = 507$.

Vậy 2022 là số hạng thứ 507 của cấp số cộng.

Trả lời: 507.