Đề kiểm tra Toán 11 Cánh diều Chương 6 có đáp án - Đề 02

${\log _2}x > 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {4; + \infty } \right)$. Chọn D.

Ta có ${2^{2x}} < {2^{x + 4}}$$\Leftrightarrow 2x < x + 4$$\Leftrightarrow x < 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;4} \right)$. Chọn B.

a) Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên tập hợp $\mathbb{R}$.

b) $\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0$$\Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0$.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x < - 2$ (loại).

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < m$.

Số nghiệm nguyên của bất phương trình là $m + 1$.

Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì $m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30$.

Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) $f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3$.

d) Ta có $f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6$$\Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6$.

Ta có $f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)$$= {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}$$= {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Vì ${x^2} + 1 > 0$ nên hàm số $f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

b) Thay $x = - 1$ vào hàm số ta có ${\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0$.

Do đó $x = - 1$ không là nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < 0$.

c) $f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)$$\Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7$$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

d) $f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1$$\Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1$

$\Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)$$\Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m$$\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0$.

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left( {4;5} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{OA \cdot AB}}{{OA \cdot AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x}} = {\log _b}a$.

Mà $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2} \Rightarrow {\log _b}a = \frac{3}{2}$.

Ta có ${\log _b}\sqrt a = \frac{1}{2}{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Trả lời: 0,75.

Ta có $f\left( 8 \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0{,}2 \cdot 8}}} \right) \approx 20$.

Trả lời: 20.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.$.

Ta có $2{\log _2}x + 3{\log _x}2 = 7$$\Leftrightarrow 2{\log _2}x + \frac{3}{{{{\log }_2}x}} = 7$$\Leftrightarrow 2\log _2^2x - 7{\log _2}x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{1}{2}\\{\log _2}x = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = 8\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vì ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_1} = \sqrt 2 ,{x_2} = 8$.

Vậy $T = {\left( {{x_1}} \right)^{{x_2}}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^8} = 16$.

Trả lời: 16.