Đề kiểm tra Toán 11 Cánh diều Chương 1 có đáp án - Đề 2

Thay tọa độ điểm $\left( {0;1} \right)$ vào hàm số ta thấy thỏa mãn.

Do đó dồ thị hàm số $f\left( x \right) = \sin x + 1$ đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$. Chọn A.

a) $g\left( x \right) = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)$$= \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)$

$= \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

b) $x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$$\Rightarrow x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)$ $\Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) < 0$. Suy ra $g\left( x \right) < 0$.

c) Có $g\left( x \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Mà $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ nên $0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi$$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 1; k = 2.

Do đó phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$.

d) Ta có $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$.

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ bằng $\sqrt 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Thay $x = 0$ vào biểu thức ta được $A = {\left( {\sin 0 - \cos 0} \right)^2} = 1$.

b) $A = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}$$= {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$$= 1 - 2\sin x\cos x$$= 1 - \sin 2x$.

c) Vì $- 1 \le - \sin 2x \le 1$ nên $0 \le 1 - \sin 2x \le 2 \Rightarrow A \in \left[ {0;2} \right]$.

d) Có $\{\begin{matrix}{\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x=1 \\ \cos 2x=-1\end{matrix}$ $\Rightarrow {\sin }^{2}2x=0\Rightarrow \sin 2x=0$

Do đó $A = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên cosα < 0.

Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{24}}{{25}}$. Suy ra $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$.

Ta có $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = \frac{{23}}{{25}}$ và $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}}$.

Do đó $\cot 2\alpha = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = - \frac{{23\sqrt 6 }}{{24}}$.

Khi đó $a = 23;b = 24$. Vậy $a + b = 47$.

Trả lời: 47.

$- 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - a \le a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le a$$\Leftrightarrow m - a \le m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le m + a$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m + a = 12\\m - a = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 10\\a = 2\end{array} \right.$.

Do đó $T = m \cdot a = 20$.

Trả lời: 20.

$\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vì x là nghiệm dương nhỏ nhất nên $x = \frac{{2\pi }}{9}$ ứng với k = 0.

Suy ra m = 2; n = 9. Do đó $m + 2n = 20$.

Trả lời: 20.