Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án - Đề 2

Lời giải

Phương trình của đường tròn có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và có bán kính $R = 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25$. Chọn B.

Lời giải

${F_1} = \left( { - \sqrt {13} ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)$ là hai tiêu điểm của hypebol. Chọn B.

Lời giải

Có $\overrightarrow u = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)$ nên đường thẳng $d$ cũng nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1} \right)$làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {3; - 6} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1} \right)$ có phương trình tham số là

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 6 - t\end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 18 = 0\\3x + 5y - 19 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 18\\3x + 5y = 19\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm là $\left( {3;2} \right)$. Chọn B.

Lời giải

Ta có $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}$. Chọn D.

Lời giải

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 1;3} \right)$ và $R = \sqrt 5$.

Tiếp tuyến tại $M$ của $\left( C \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$x - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0$. Chọn C.

Lời giải

a) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục tung tại điểm $M$ nên $M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)$.

Có $\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)$ vuông góc $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _1}$.

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và vuông góc với ${\Delta _1}$ nhận $\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x + y - \frac{5}{2} = 0$.

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\x - y + 6 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\\t = - 4\end{array} \right.$

Vậy hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng $- 7$.

c) $d\left( {O,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }}$.

d) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;2} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _2}$.

$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Lời giải

a) Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình hypebol ta được $\frac{{{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2}}}{{20}} - \frac{{{4^2}}}{{16}} = 1\;$ (vô lí).

Suy ra $M\left( {\sqrt {20} ;4} \right) \notin \left( H \right)$.

b) Tiêu cự hypebol $2c = 2\sqrt {20 + 16} = 12$.

c) Các tiêu điểm của hypebol là ${F_1}\left( { - 6;0} \right);{F_2}\left( {6;0} \right)$.

d) Thay $x = 8;y = b$ vào phương trình $\left( H \right)$ thì $\frac{{64}}{{20}} - \frac{{{b^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow b = \frac{{4\sqrt {55} }}{5}$ hoặc $b = - \frac{{4\sqrt {55} }}{5}$.

Mà $b < 0$ nên $A\left( {8;\frac{{ - 4\sqrt {55} }}{5}} \right)$.

Vậy $A{F_1} = \sqrt {{{\left( { - 6 - 8} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt {55} }}{5}} \right)}^2}} = \frac{{34\sqrt 5 }}{5}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

Vị trí ban đầu của tàu $B$ tại điểm ${M_0}$ ứng với $t = 0$. Khi đó ${M_0}\left( {1;5} \right)$.

Tàu $A$ di chuyển theo đường thẳng $\Delta :7x + 6y - 9 = 0$.

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {7 \cdot 1 + 6 \cdot 5 - 9} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {6^2}} }} = \frac{{28\sqrt {85} }}{{85}} \approx 3{,}04$.

Trả lời: 3,04.

Lời giải

Gọi $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$.

Vì elip $\left( E \right)$ đi qua hai điểm $P\left( {0;8} \right),Q\left( {6; - \frac{{32}}{5}} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{64}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{36}}{{{a^2}}} + \frac{{1024}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 64\\{a^2} = 100\end{array} \right.$.

Vậy $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$.

Cho $y = 0$ thì $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{0}{{64}} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 10$.

Vậy hoành độ giao điểm của $\left( E \right)$ với tia $Ox$ là $10$.

Trả lời: 10.

Lời giải

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.$$\Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4$.

Vậy phương trình $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là $\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)$ với $x,y > 0$.

Khi đó diện tích hình chữ nhật là $S = 2x \cdot 2y = 4xy$.

Vì $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}}$. Do đó $S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}}$$= \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)}$.

Ta có $\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}$ (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).

Do đó $S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40$.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m2.

Trả lời: 40.