Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án - Đề 1

Lời giải

Phương trình đường chuẩn của parabol $\left( P \right):{y^2} = 14x$ là $x = - \frac{p}{2} = - \frac{7}{2}$. Chọn C.

Lời giải

Đường thẳng ${d_1};{d_2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right) = - 3\left( {1; - 2} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}}$.

Do hai vectơ $\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.

Lại có điểm $\left( { - 1;0} \right)$ thuộc đường thẳng ${d_1}$ nhưng không thuộc đường thẳng ${d_2}$ nên ${d_1}//{d_2}$. Chọn D.

Lời giải

Xét phương trình $2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 4y - 1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0$.

Phương trình này có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = \frac{3}{2};b = 1;c = - \frac{1}{2}$.

Có ${a^2} + {b^2} - c = \frac{{15}}{4} > 0$ nên phương trình này là phương trình đường tròn. Chọn C.

Lời giải

$\overrightarrow u = \left( { - 4;5} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Chọn D.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)$. Có $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)$ nên $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {1;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0$. Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4; - 2} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3 \cdot 4 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$$= \frac{{10}}{{10\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$. Chọn A.

Lời giải

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)$.

Có $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

a) Đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $d$ nhận $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( {1; - 4} \right)$. Có $AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Đường tròn đường kính $AB$ có tâm $I\left( {1; - 4} \right)$ và $R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5$.

c) Có $d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 3 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}$; $d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}$.

Suy ra $d\left( {A,d} \right) > d\left( {B,d} \right)$.

d) Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)$. Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)$ vuông góc $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $AB$.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải

a) $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right),R = \sqrt 5$.

b) Thay tọa độ điểm $M\left( {2;b} \right)$vào phương trình đường tròn ta được

${2^2} + {b^2} - 2 \cdot 2 + 4b = 0$$\Leftrightarrow b = 0$ hoặc $b = - 4$.

Vì $b < 0$ nên $M\left( {2; - 4} \right)$.

Có $\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 2} \right)$.

Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y - 10 = 0\;\left( {d'} \right)$.

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$.

Vì $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {IM}$ không cùng phương nên hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau.

c) Ta có $d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} < R$.

Nên $d$ cắt đường tròn $\left( C \right)$.

d) Thay tọa độ điểm $O$ vào phương trình đường tròn $\left( C \right)$ thỏa mãn nên điểm $O$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$ và $R = 5$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)$.

Vì đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25$ tiếp xúc với đường thẳng $d:3x + 4y + 1 = 0$ tại $A\left( {1; - 1} \right)$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k = \pm 1\end{array} \right.$.

Với $k = 1$ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.$; Với $k = - 1$ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.$.

Vì $a < 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.$. Suy ra $\frac{a}{b} = 0{,}4$.

Trả lời: 0,4.

Lời giải

Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $CD$.

Khi đó đường thẳng $CD$ đi qua điểm $C\left( { - 3; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ có phương trình là

$a\left( {x + 3} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0 \Rightarrow ax + by + 3a + 3b = 0$.

Vì $CD = 3AB$ nên $CD = 3\sqrt {10}$. Khi đó $d\left( {A,CD} \right) = \frac{{2{S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{36}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {10} }}$.

Suy ra $d\left( {M,CD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,CD} \right) = \frac{6}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + b + 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$

$\Leftrightarrow 10{\left( {3a + 2b} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$\Leftrightarrow 81{a^2} + 120ab + 31{b^2} = 0$$\Leftrightarrow a = - \frac{1}{3}b$ hoặc $a = - \frac{{31}}{{27}}b$.

TH1: $a = - \frac{1}{3}b$.

Chọn $b = - 3$ thì $a = 1$. Khi đó phương trình đường thẳng $CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow D\left( {3d + 6;d} \right)$.

Ta có $C{D^2} = 90$$\Leftrightarrow {\left( {3d + 9} \right)^2} + {\left( {d + 3} \right)^2} = 90 \Leftrightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow d = 0$ hoặc $d = - 6$.

Suy ra $D\left( {6;0} \right)$ (thỏa mãn) hay $D\left( { - 12; - 6} \right)$ (loại).

Vậy $D\left( {6;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} = \left( { - 3; - 1} \right)$$\Rightarrow B\left( { - 3;1} \right)$.

TH2: $a = - \frac{{31}}{{27}}b$.

Chọn $b = - 27 \Rightarrow a = 31$. Khi đó $CD:31x - 27y + 12 = 0$$\Rightarrow D\left( {d;\frac{{31d + 12}}{{27}}} \right)$.

Suy ra $C{D^2} = {\left( {d + 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{31d + 93}}{{27}}} \right)^2} = 90$$\Rightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = \frac{{6561}}{{169}}$ (loại).

Vậy $B\left( { - 3;1} \right)$$\Rightarrow 3a - b = - 10$.

Trả lời: −10.

Lời giải

Để đặt vị trí sao cho nhận được tín hiệu sớm nhất khi $M$ gần vị trí $A$ nhất.

Mà $M \in d$ suy ra $M$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $d$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$.

Vì $\Delta \bot d$ nên $\Delta :x + y + c = 0$.

Mà $A\left( {4;4} \right) \in \Delta$ nên $4 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 8$.

Suy ra $\Delta :x + y - 8 = 0$.

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 8 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Vậy máy thu đặt ở vị trí $M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{5}{2}} \right)$ sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất.

Khi đó $S = a + b = \frac{{11}}{2} + \frac{5}{2} = 8$.

Trả lời: 8.