Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án ( Đề 2)

$\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI}$. Chọn C.

a) $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}$$= \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} } \right)$$= \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD}$$= 2\overrightarrow {BA}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = 4a$.

b) $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} } \right|$$= \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow 0 } \right| = 0$.

c) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AI}$.

d) $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương với $\overrightarrow {BD}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - 2} \right) \cdot 0 + 3 \cdot \left( { - 6} \right) = - 18$.

b) $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {36} }} = - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}$.

c) Gọi $D\left( {x;y} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {DC} = \left( {2 - x; - 2 - y} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right)$.

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x = - 2\\ - 2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 5\end{array} \right.$.

Vậy $D\left( {4; - 5} \right)$.

d) Gọi $H\left( {x;y} \right)$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Ta có $\overrightarrow {AH} = \left( {x - 4;y - 1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 3} \right)$.

Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{2}\\y = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Do $B$ là trọng tâm của tam giác $ACD$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)$.

Vậy $a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20$.

Ta có $\overrightarrow {{v_2}}$ ngược hướng với $\overrightarrow {{v_1}}$ và $\frac{{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}} = \frac{{100}}{{60}} = \frac{5}{3}$.

Do đó $\overrightarrow {{v_2}} = - \frac{5}{3}\overrightarrow {{v_1}}$.

Vậy $a = - \frac{5}{3} \approx - 1{,}7$.

Tam giác $ABC$ vuông tại A, có $AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{{2{,}5}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}$.

Suy ra $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + 2,{5^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

Ta có $P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)$

$= \frac{1}{4}\left( { - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos B + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos C} \right)$$= \frac{1}{4}\left( { - \frac{{5\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 60^\circ + 2{,}5 \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 30^\circ } \right) = \frac{{25}}{{24}} \approx 1{,}04$.