Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án ( Đề 1)

Ta có $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Chọn A.

a) $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;3} \right)$.

b) $\overrightarrow {AC} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {26}$.

c) Gọi $C\left( {x;y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {x - 1;y} \right)$.

Theo đề $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;5} \right)$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow C\left( {0;5} \right)$.

d) Ta có $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$.

Do đó $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;2} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Ta có $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$; $BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA}$.

b) Ta có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE}$ $= \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE}$.

c) Do $ABCD$ là hình chữ nhật và $E$ là trung điểm cạnh $AD$ nên ta có:

$\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

d) Có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}$.

Theo giả thiết, hai đường thẳng $BE,AC$ vuông góc nhau nên ta có:

$\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0$$\Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8$$\Rightarrow BC = 2\sqrt 2$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 2\sqrt 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a;3 - b} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {4 - a; - b} \right),\overrightarrow {MC} = \left( {2 - a, - 5 - b} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 1 + a;18 + b} \right)$.

Mà $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a = 0\\18 + b = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 18\end{array} \right.$.

Khi đó $27a - 2b = 63$.

Vật đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

Dựng hình bình hành $AMBN$.

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MN}$$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MN}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MN} } \right| = MN = 150$ (N) (vì tam giác $AMN$ đều).

Vì một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí $I\left( {x;y} \right)$ và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí $O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {1;3} \right)$ nhận được cùng một thời điểm nên $IO = IA = IB$.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 = 0\\ - 6y + 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $x + y = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.