Đề kiểm tra Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 có đáp án (Đề 1)

a) Ta có $\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{{14}^2} + {{13}^2} - {{15}^2}}}{{2 \cdot 14 \cdot 13}} = \frac{5}{{13}}$.

b) Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = \frac{{14 + 13 + 15}}{2} = 21$.

${S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 15} \right)} = 84$.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4S}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 15}}{{4 \cdot 84}} = \frac{{65}}{8}$.

d) Có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \Rightarrow h = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2 \cdot 84}}{{14}} = 12$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$.

b) Có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}$.

c) Có $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {3^2} = 10 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$ (vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha > 0$).

d) $\frac{{5\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = \frac{{5\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} =$$\frac{{5\tan \alpha - 3}}{{\tan \alpha + 2}} =$$\frac{{5 \cdot 3 - 3}}{{3 + 2}} = \frac{{12}}{5}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Ta có ${\sin }^{2}α+{\cos }^{2}α=1$ $\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{5}} \right)^2} = \frac{{23}}{{25}}$$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {23} }}{5}$.

Vì $\alpha \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right)$ nên $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {23} }}{5}$.

Suy ra $a = 23;b = 5$. Do đó $a - 2b = 23 - 2 \cdot 5 = 13$.

Ta có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_a}BC = \frac{1}{2}{h_b}AC$$\Rightarrow \frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ (1).

Lại có $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}}$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = \sqrt 2 \approx 1{,}4$.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$, ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}$$= {15^2} + {20^2} - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 925 \Rightarrow BC = 5\sqrt {37}$ (km).

Số tiền xăng ô tô chạy thẳng trên đoạn đường $AB$ là $5\sqrt {37} \cdot 0{,}3 \cdot 25 \approx 228$ nghìn đồng.

Số tiền xăng ô tô chạy qua C là $\left( {15 + 20} \right) \cdot 0{,}3 \cdot 25 = 262{,}5$nghìn đồng.

Vậy số tiền xăng đã tiết kiệm được là $262{,}5 - 228 \approx 35$nghìn đồng.