Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 có đáp án (Đề 1)

Xét phương trình $2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 4y - 1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0$.

Phương trình này có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = \frac{3}{2};b = 1;c = - \frac{1}{2}$.

Có ${a^2} + {b^2} - c = \frac{{15}}{4} > 0$ nên phương trình này là phương trình đường tròn. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)$. Có $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)$ nên $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {1;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0$. Chọn D.

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)$.

Có $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

a) Đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $d$ nhận $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( {1; - 4} \right)$. Có $AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Đường tròn đường kính $AB$ có tâm $I\left( {1; - 4} \right)$ và $R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5$.

c) Có $d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 3 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}$; $d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}$.

Suy ra $d\left( {A,d} \right) > d\left( {B,d} \right)$.

d) Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)$. Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)$ vuông góc $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $AB$.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;3} \right)$.

b) $\overrightarrow {AC} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {26}$.

c) Gọi $C\left( {x;y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {x - 1;y} \right)$.

Theo đề $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;5} \right)$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow C\left( {0;5} \right)$.

d) Ta có $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$.

Do đó $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;2} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Ta có $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$; $BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $CD$.

Khi đó đường thẳng $CD$ đi qua điểm $C\left( { - 3; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ có phương trình là

$a\left( {x + 3} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0 \Rightarrow ax + by + 3a + 3b = 0$.

Vì $CD = 3AB$ nên $CD = 3\sqrt {10}$. Khi đó $d\left( {A,CD} \right) = \frac{{2{S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{36}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {10} }}$.

Suy ra $d\left( {M,CD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,CD} \right) = \frac{6}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + b + 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$

$\Leftrightarrow 10{\left( {3a + 2b} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$\Leftrightarrow 81{a^2} + 120ab + 31{b^2} = 0$$\Leftrightarrow a = - \frac{1}{3}b$ hoặc $a = - \frac{{31}}{{27}}b$.

TH1: $a = - \frac{1}{3}b$.

Chọn $b = - 3$ thì $a = 1$. Khi đó phương trình đường thẳng $CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow D\left( {3d + 6;d} \right)$.

Ta có $C{D^2} = 90$$\Leftrightarrow {\left( {3d + 9} \right)^2} + {\left( {d + 3} \right)^2} = 90 \Leftrightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow d = 0$ hoặc $d = - 6$.

Suy ra $D\left( {6;0} \right)$ (thỏa mãn) hay $D\left( { - 12; - 6} \right)$ (loại).

Vậy $D\left( {6;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} = \left( { - 3; - 1} \right)$$\Rightarrow B\left( { - 3;1} \right)$.

TH2: $a = - \frac{{31}}{{27}}b$.

Chọn $b = - 27 \Rightarrow a = 31$. Khi đó $CD:31x - 27y + 12 = 0$$\Rightarrow D\left( {d;\frac{{31d + 12}}{{27}}} \right)$.

Suy ra $C{D^2} = {\left( {d + 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{31d + 93}}{{27}}} \right)^2} = 90$$\Rightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = \frac{{6561}}{{169}}$ (loại).

Vậy $B\left( { - 3;1} \right)$$\Rightarrow 3a - b = - 10$.

Vì một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí $I\left( {x;y} \right)$ và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí $O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {1;3} \right)$ nhận được cùng một thời điểm nên $IO = IA = IB$.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 = 0\\ - 6y + 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $x + y = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$ và $R = 5$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)$.

Vì đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25$ tiếp xúc với đường thẳng $d:3x + 4y + 1 = 0$ tại $A\left( {1; - 1} \right)$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k = \pm 1\end{array} \right.$.

Với $k = 1$ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.$; Với $k = - 1$ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.$.

Vì $a < 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.$. Suy ra $\frac{a}{b} = 0{,}4$.