Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án (Đề 1)

Ta có $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Chọn A.

a) $\overrightarrow {IB}$ và $\overrightarrow {IC}$ ngược hướng.

b) $2AK = 3KB$ và $K$ là điểm nằm trên cạnh $AB$ nên $\overrightarrow {BK} = \frac{2}{5}\overrightarrow {BA} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AB}$;

$I$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BI = 3IC$ nên $\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC}$.

$\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {BI} = \left| {\overrightarrow {BK} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BI} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BK} ,\overrightarrow {BI} } \right)$$= \frac{2}{5}AB \cdot \frac{3}{4}BC \cdot \cos \widehat {ABC}$$= \frac{3}{{10}}AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}$.

c) $\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AC}$.

d) $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA}$.

b) Ta có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE}$ $= \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE}$.

c) Do $ABCD$ là hình chữ nhật và $E$ là trung điểm cạnh $AD$ nên ta có:

$\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

d) Có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}$.

Theo giả thiết, hai đường thẳng $BE,AC$ vuông góc nhau nên ta có:

$\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0$$\Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8$$\Rightarrow BC = 2\sqrt 2$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 2\sqrt 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Con nhện ở trạng thái cân bằng nên $\overrightarrow T + \overrightarrow P + \overrightarrow F = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow T + \overrightarrow {T'} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow T = - \overrightarrow {T'}$.

Từ hình vẽ ta thấy $F = P \cdot \tan 60^\circ = 0{,}1 \cdot \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}$ (N).

Suy ra $a = 3;b = 10$. Do đó $T = a + b = 13$.

Vì $K$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Suy ra $\overrightarrow {KD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Vậy $a = \frac{1}{4};b = \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.