Đề kiểm tra Toán 10 Cánh diều Chương 4 có đáp án (Đề 1)

Ta có $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Chọn A.

a) Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$.

b) Có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}$.

c) Có $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {3^2} = 10 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$ (vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha > 0$).

d) $\frac{{5\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = \frac{{5\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} =$$\frac{{5\tan \alpha - 3}}{{\tan \alpha + 2}} =$$\frac{{5 \cdot 3 - 3}}{{3 + 2}} = \frac{{12}}{5}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA}$.

b) Ta có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE}$ $= \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE}$.

c) Do $ABCD$ là hình chữ nhật và $E$ là trung điểm cạnh $AD$ nên ta có:

$\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

d) Có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}$.

Theo giả thiết, hai đường thẳng $BE,AC$ vuông góc nhau nên ta có:

$\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0$$\Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8$$\Rightarrow BC = 2\sqrt 2$.

Do là hình chữ nhật nên $AD = BC = 2\sqrt 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {23} }}{5}$.

Vì $\alpha \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right)$ nên $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {23} }}{5}$.

Suy ra $a = 23;b = 5$. Do đó $a - 2b = 23 - 2 \cdot 5 = 13$.

Trả lời: 13.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$, ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}$$= {15^2} + {20^2} - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 925 \Rightarrow BC = 5\sqrt {37}$ (km).

Số tiền xăng ô tô chạy thẳng trên đoạn đường $AB$ là $5\sqrt {37} \cdot 0{,}3 \cdot 25 \approx 228$ nghìn đồng.

Số tiền xăng ô tô chạy qua C là $\left( {15 + 20} \right) \cdot 0{,}3 \cdot 25 = 262{,}5$nghìn đồng.

Vậy số tiền xăng đã tiết kiệm được là $262{,}5 - 228 \approx 35$nghìn đồng.

Vật đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

Dựng hình bình hành $AMBN$.

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MN}$$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MN}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MN} } \right| = MN = 150$ (N) (vì tam giác $AMN$ đều).