Đề kiểm tra Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có:$y = - {x^3} + 3x$$\Rightarrow$$y' = - 3{x^2} + 3$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1\,;\,1} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của đạo hàm:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y = {x^3} - 3{x^2} - 1$$\Rightarrow$$y' = 3{x^2} - 6x$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Ta có $y( - 2) = - 21$ ; $y(0) = - 1$;$y(1) = - 3$

Vậy hàm số$y = {x^3} - 3{x^2} - 1$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x = 0$ với $y(0) = - 1$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Hàm số liên tục trên $\left[ {2;4} \right]$

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$$\Rightarrow$$y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left[ {2;4} \right]\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có $y(2) = 7$ ; $y(3) = 6$;$y(4) = \frac{{19}}{3}$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6$.

A. Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} y = + \infty$nên hàm số đã cho không tồn tại GTLN trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$.

B. Sai. Vì hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại $x = 2$ trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$.

C. Sai. Vì hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại $x = 2$ trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} y = + \infty$.

D. Sai.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x + 3} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x - 3}}{{x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}$.

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }} = - 1$.

Vậy phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số là $y = - 1$.

Ta có $f\left( x \right) = 0{,}025{x^2}\left( {30 - x} \right)$$= 0{,}0125x.x.\left( {60 - 2x} \right)$$\le 0{,}0125.{\left( {\frac{{x + x + 60 - 2x}}{3}} \right)^3} = 100$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 60 - 2x$$\Leftrightarrow x = 20$ miligam.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

b) Đúng

Nhìn vào biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$; nghịch biến

trên khoảng$\left( { - 2; + \infty } \right)$.

a) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng$\left( { - \infty ; - 5} \right)$ và $\left( { - 3; - 2} \right)$là mệnh đề đúng

b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng$\left( { - \infty ;5} \right)$là mệnh đề sai

c) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right)$là mệnh đề đúng

d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ là mệnh đề đúng

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 4\left( {m - 1} \right){x^3} - 2\left( {{m^2} - 2} \right)x$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$$\Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 4\left( {m - 1} \right) + 2\left( {{m^2} - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.$.

Với $m = 0$, hàm số trở thành $y = - {x^4} + 2{x^2} + 2$. Vì $a,b$ trái dấu nên hàm số có $3$ cực trị.

Khi $m = 1$ đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $M\left( {0;2} \right)$, khi đó $a + b = 2$

Với $m = 2$, hàm số trở thành $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$. Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$.

Vậy $m = 2$ thì hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^4} - \left( {{m^2} - 2} \right){x^2} + 2$ đạt cực tiểu tại $x = - 1$ hay ${\log _2}8 = 3$

a) S

b) S

c) S

d) Đ

Ta có:

${f}^{'}(x)=(x+3){(x+2)}^{3}({x}^{2}-4)=(x+3){(x+2)}^{4}(x-2)$

${f}^{'}(x)=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-3 \\ x=-2 \\ x=2\end{matrix}$

Xét bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 3;\,2} \right]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left( { - 3} \right) > f\left( { - 2} \right) > f\left( 2 \right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ Đúng

b) Đồ thị hàm số có tiện cận ngang $y = 0$ Sai vì Đồ thị hàm số có tiện cận ngang $y = 1$.

Ta có: đồ thị hàm số $y = \frac{{x + a}}{{bx + c}}$ có TCĐ: $x = - \frac{c}{b} = 1$; TCN: $y = \frac{1}{b} = 1$. Do đó: $b = 1;\,c = - 1$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x + a}}{{bx + c}}$ đi qua điểm có tọa độ $\left( {2;\,0} \right)$ nên suy ra: $2 + a = 0$ hay $a = - 2$

Vậy hàm số có dạng: $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$, tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Suy ra: ${y}^{'}=\frac{1}{{(x-1)}^{2}}>0;\ \forall x\ne 1$

c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ Sai vì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right);\,\left( {1; + \infty } \right)$.

d) $T = a - 3b - 2c = - 3$ Đúng.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$y' = 3{x^2} - 3$; $y' = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 1;1} \right)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$$y' = \left( {2x - 2{x^2}} \right){e^{ - 2x}};y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$$

Bảng biến thiên

Giá trị cực đại $f\left( 1 \right) = {e^{ - 2}}$.

Xét hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5$ trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$

$y' = 3{x^2} - 6x - 9$

$$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\, \in \left[ { - 2;\,2} \right]\\x = 3\,\,\,\,\, \notin \left[ { - 2;\,2} \right]\end{array} \right.$$

Tính $y\left( { - 2} \right) = 3;\,\,y\left( 2 \right) = - 17;\,y\left( { - 1} \right) = 10$.

Vậy $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = - 17$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng $x = 0$.

Ta có $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$. Hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $\left( {2; - 2} \right)$và $\left( {0;2} \right)$nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 2 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 2\\f'\left( 0 \right) = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a + 4b + 2c + d = - 2\\12a + 4b + c = 0\\d = 2\\c = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow S = 0$.

Đặt độ dài $OA = x\left( {\rm{m}} \right)$ với $x > 0$. Ta có: $OB = \sqrt {{x^2} + 3{,}24}$; $OC = \sqrt {{x^2} + 10{,}24}$

Sử dụng định lí cosin trong tam giác $OBC$:

$\cos \widehat {BOC} = \frac{{O{B^2} + O{C^2} - B{C^2}}}{{2.OB.OC}} = \frac{{{x^2} + 3{,}24 + {x^2} + 10{,}24 - 1.96}}{{2\sqrt {{x^2} + 3{,}24} .\sqrt {{x^2} + 10{,}24} }}$

$= \frac{{{x^2} + 5{,}76}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + 3{,}24} \right)\left( {{x^2} + 10{,}24} \right)} }}$.

Vì góc $\widehat {BOC}$ nhọn nên $\widehat {BOC}$ lớn nhất khi và chỉ khi $\cos \widehat {BOC}$ nhỏ nhất. Khi đó bài toán trở thành tìm $x$ để $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5{,}76}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + 3{,}24} \right)\left( {{x^2} + 10{,}24} \right)} }}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt $t = {x^2} + 3{,}24$ với $t > 3{,}24$. Suy ra $f\left( t \right) = \frac{{t + \frac{{63}}{{25}}}}{{\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}$ với $t \in \left( {3{,}24; + \infty } \right)$.

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{49t - 441}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)$.

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 49t - 441 = 0 \Leftrightarrow t = 9$.

Bảng biến thiên:

Thế vào biểu thức của phép đặt ta có: ${x^2} + 3{,}24 = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{144}}{{25}} \Rightarrow x = 2{,}4{\rm{m}}$.

Vậy để nhìn rõ nhất thì khoảng cách từ vị trí đó đến màn hình là $OA = 2{,}4{\rm{m}}$.