Đề kiểm tra Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = - 3{x^2} - 6x$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$và $\left( {1\,;\,3} \right)$.

Tập xác định: $D = \left[ {0\,;\,2} \right]$.

Ta có $y' = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt { - {x^2} + 2x} }}$.

$y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 1 \ge 0\\ - {x^2} + 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\0 < x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \le 1$.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\,1} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số có điểm cực tiểu là $x = 0$.

Ta có $f'\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\\x = 2\,\,\end{array} \right.$ ($x = 2$ là nghiệm kép).

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có $2$ điểm cực tiểu.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 2x.{{\rm{e}}^x} + \left( {{x^2} - 3} \right).{{\rm{e}}^x} = \left( {{x^2} + 2x - 3} \right){\rm{.}}{{\rm{e}}^x}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 3;1} \right)$.

Tập xác định $D = \left( {0;10} \right)$.

Ta có: $y' = \frac{{10 - 2x}}{{\left( {10x - {x^2}} \right)\ln 5}}$, $y' = 0 \Leftrightarrow 10 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;5} \right)$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {2m + 3} \right)$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$$\Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m + 3 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3$.

Vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$.

a) Ta có $y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1$ nên $y' = 3{x^2} + 6x - m$.

Do đó a) đúng.

b) Với $m = 9$ ta có $y' = 3{x^2} + 6x - 9$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$

$y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 3\\x > 1\end{array} \right.$

$y' < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 3\,;\,1} \right)$.

Do đó b) sai.

c) Với $m = - 3$, ta có $y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}$.

Suy ra $y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó c) sai.

d) Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty \,;\,0} \right)$

$\Leftrightarrow y' = 3{x^2} + 6x - m \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)$.

$\Leftrightarrow m \le 3{x^2} + 6x,\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)$.

Xét $g\left( x \right) = 3{x^2} + 6x,\,x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)$;

$g'\left( x \right) = 6x + 6$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $m \le g\left( x \right),\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right) \Leftrightarrow m \le - 3$.

Do đó d) đúng.

a) Ta có $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$ suy ra $y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Do đó a) đúng.

b) $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.$

$y\left( { - 3} \right) = - 3$; $y\left( { - 1} \right) = 1$

Suy ra $A\left( { - 3\,;\, - 3} \right)$ và $B\left( { - 1\,;\,1} \right)$

Do ${x_A}.{x_B} = 3 > 0$ nên $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía của trục tung.

Do đó b) sai.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,4} \right)$

Suy ra đường thẳng $AB$ có phương trình là $- 2\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow y = 2x + 3$.

Do đó c) sai.

d) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x + 2y + 4 = 0$ nên $\Delta$ có vtpt $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1\,;\,2} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,4} \right)$

Suy ra $\overrightarrow {{n_\Delta }}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với nhau. Do đó $AB \bot \Delta$.

Ta có $I\left( { - 2\,;\, - 1} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $I \in \Delta$.

Vậy $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta$.

Do đó d) đúng.

Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Với $m = 0$ hàm số trở thành $y = {\log _2}x$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

b) Với $m = 1$ hàm số trở thành $y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$ có $D = \mathbb{R}$

Khi đó : $y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)$ .

c) $y' = \frac{{2mx + 1}}{{\left( {m{x^2} + x + m} \right).\ln 2}}$

d) Hàm số có $D = \mathbb{R} \Leftrightarrow m{x^2} + x + m > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$

+) $m = 0$ không thoả mãn.

+) $m \ne 0$ hàm số có $D = \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta = 1 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$ .

Khi đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2;\, + \infty } \right)$$\Leftrightarrow \left( {2; + \infty } \right) \subset \left( { - \frac{1}{{2m}};\, + \infty } \right) \Leftrightarrow - \frac{1}{{2m}} \le 2 \Leftrightarrow m \ge - \frac{1}{4}$

Vậy với $m > \frac{1}{2}$ thì hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$ và đồng biến trên khoảng $\left( {2;\, + \infty } \right)$.

Đáp án: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Với $m = 0$ hàm số trở thành: $y = \sqrt {{x^2} + 9}$ có $y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Hàm số có cực trị tại $x = 0$.

b) Với $m = 1$ hàm số trở thành: $y = \sqrt {{x^2} - 2x + 9}$ có $y' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 9} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

$y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x = 1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.

c) $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2mx + 9} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }} = \frac{{2x - 2m}}{{2\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }} = \frac{{x - m}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }}$

d) Điều kiện: ${x^2} - 2mx + 9 \ge 0\left( * \right)$

$y' = \frac{{x - m}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }}$,

$y' = 0$$\Leftrightarrow x - m = 0$$\Leftrightarrow x = m$.

Đồ thị hàm số có cực trị $\Leftrightarrow x = m$ thỏa mãn $\Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 9 \ge 0$$\Leftrightarrow - 3 \le m \le 3$.

Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho có cực trị.

Đáp số: $1$

Từ đồ thị, suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $A\left( {2;3} \right)$.

Do đó, $a = 2,b = 3 \Rightarrow P = 2.2 - 3 = 1$.

Đáp số:$3$

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - {x^4} + {x^3}$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} - 4x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của hàm số $f'\left( x \right)$ như sau:

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$ có độ dài bằng $2,$ nên ta có $a = 1;b = 3 \Rightarrow P = 1.3 = 3.$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 4} \right\}.$

Ta có $y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0\;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne - 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$

Vậy có 3 giá trị m nguyên để bài toán thỏa mãn.

Xét hàm số

$V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0058043{T}^{2}-0{,}0000679{T}^{3}$ $({0}^{^{\circ}}C\le T\le {30}^{^{\circ}}C)$

$\begin{array}{l}V'\left( T \right) = - 0{,}06426 + 0{,}0170086T - 0{,}0002037{T^2}\\V'\left( T \right) = 0 \Leftrightarrow - 0{,}06426 + 0{,}0170086T - 0{,}0002037{T^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T = 3{,}966514624\\T = 79{,}53176716\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra thể tích $V(T)({0}^{^{\circ}}C\le T\le {30}^{^{\circ}}C)\$ giảm trong khoảng nhiệt độ từ $\left( {0^\circ ;4^\circ } \right)$.Vậy $a + b = 4$

Đáp số: 1.

Hàm số xác định trên $\left[ {0;\pi } \right]$.

Ta có $y = - \frac{x}{4} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x$.

Suy ra $y' = - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x$.

$$y' = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Vì $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ nên $x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6}; - \frac{\pi }{6}} \right\}$.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số có 1 điểm cực đại.

Đáp số: 26.

Vận tốc tức thời của chất điểm là $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 36t - 35$.

Gia tốc tức thời của chất điểm là $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 2t + 36$.

Vì vận tốc tức thời của chất điểm giảm nên $a\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow - 2t + 36 < 0 \Leftrightarrow t > 18$.

Do đó, trong 40 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian $\left( {18;40} \right)$. Suy ra $a = 18$, $b = 40$.

Vậy $P = 2b - 3a = 26$.