Đề kiểm tra Tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Ta thấy $2x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$.

Vậy $I = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {2x - 4} \right|{\rm{d}}x}$$= - \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right){\rm{d}}x}$.

Từ giả thiết $f(x) + x\left( {{f^\prime }(x) - 2\sin x} \right) = {x^2}\cos x$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow f(x) + x{f^\prime }(x) = {x^2}\cos x + 2x\sin x\\ \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}\sin x} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow xf\left( x \right) = {x^2}\sin x + C\end{array}$$

Mặt khác: $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = x\sin x.$

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x\sin x}}{x}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = 1$.

a) Đúng.

Ta có: $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

b) Đúng.

Ta có: $\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_b^a = F\left( a \right) - F\left( b \right) = - \,\left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] = - \,\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

c) Sai.

Với $a < c < b$ ta có $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Mặt khác $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,\int\limits_c^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \, - n$.

Từ đó ta được $\int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = m - \,\left( { - \,n} \right) = m + n$.

d) Sai.

Ta có: $\int\limits_a^b {\left[ {2024f\left( x \right) + 2025} \right]{\rm{d}}x} = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2025\int\limits_a^b {{\rm{d}}x} = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \left. {2025x} \right|_a^b$

$= 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2025\left( {b - a} \right)$.

a) Đúng.

Ta có: $\int\limits_1^2 {{x^2}} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{1^3}}}{3} = \frac{7}{3}$.

b) Sai.

Với $m$ là tham số, ta có $\int\limits_0^2 {\left( {4{x^3} + m} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^4} + mx} \right)} \right|_0^2 = 16 + 2m$.

Mà $\int\limits_0^2 {\left( {4{x^3} + m} \right){\rm{d}}x} = 4$ nên $16 + 2m = 4 \Leftrightarrow m = - \,6$.

c) Đúng.

Ta có: $\int\limits_1^2 {\left( {\pi {x^5} + e{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{\pi {x^6}}}{6} + \frac{{e{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{2^6} - {1^6}}}{6}} \right) + e\left( {\frac{{{2^3} - {1^3}}}{3}} \right) + 2 - 1 = \frac{{21\pi }}{2} + \frac{{7e}}{3} + 1$.

Mà $\int\limits_1^2 {\left( {\pi {x^5} + e{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = m\pi + ne + p$ nên $m = \frac{{21}}{2},\,\,n = \frac{7}{3},\,\,p = 1$$\Rightarrow 2m - 3n + p = 21 - 7 + 1 = 15$.

d) Sai.

Ta có: hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số bậc hai nên $y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta thấy đồ thị đi qua các điểm $\left( {0;3} \right),\,\,\left( {2; - \,1} \right),\,\,\left( {1;0} \right),\,\,\left( {3;0} \right)$.

Khi đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}c = 3\\4a + 2b + c = - \,1\\a + b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \,4\\c = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$.

Ta có: $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_3^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1$

$+ \,\,\,\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{{20}}{3} = 8$.

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right)$, $Ox$ và 2 đường thẳng$x = 0,\,\,x = 1$ được xác định bởi công thức:$S = \int\limits_0^1 {\left( { - 4{x^2} + 14} \right){\rm{d}}x} = \frac{{38}}{3}.$

Vậy khẳng định a) là đúng.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right)$, đường thẳng $\Delta :y = 2025$ và 2 đường thẳng $x = 0,\,\,x = 1$ được xác định bởi công thức: $S = \int\limits_0^1 {\left| {4{x^2} - 14 - 2025} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{6113}}{3}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right)$, đường thẳng $\Delta :y = 2025$ và 2 đường thẳng $x = 0,\,\,x = - 1$ được xác định bởi công thức: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {4{x^2} - 14 - 2025} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{6113}}{3}$

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $Ox$ và đồ thị $\left( P \right):$$4{x^2} - 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\\x = \frac{{ - \sqrt {14} }}{2}\end{array} \right..$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right)$ và $Ox$được xác định bởi công thức: $S = \int\limits_{\frac{{ - \sqrt {14} }}{2}}^{\frac{{\sqrt {14} }}{2}} {\left| {4{x^2} - 14} \right|{\rm{d}}x} \approx 34{,}9$.

Vậy khẳng định c) là sai.

d) Do đồ thị $\left( P \right)$ đối xứng qua $Oy$ nên ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right)$ và $Ox$ gấp 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right)$, $Ox$ và 2 đường thẳng $x = 0,\,\,x = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$ .

Vậy khẳng định d) là sai.

a) Sai (Dựa vào đồ thị $v\left( t \right)$).

b) Đúng

Trong $3$ giây đầu tiên, vận tốc của chuyển động là $v\left( t \right) = 11\,\left( {m/s} \right)$.

Do đó quãng đường chất điểm chuyển động trong $3$giây đầu tiên là: ${S_1} = \int\limits_0^3 {11dt} \,\,\left( m \right)$

c) Đúng

Trong khoảng thời gian từ $8$ đến $15$ giây, đồ thị $v\left( t \right)$là một đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {8;21} \right)$ và $\left( {15;0} \right)$. Ta có: $v\left( t \right) = at + b$.

Từ giả thiết ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{8a + b = 21}\\{15a + b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - 3}\\{b = 45}\end{array}} \right.$.

Do đó $v\left( t \right) = - 3t + 45\,\,\left( {8 \le t \le 15} \right)$.

Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian này là:

${S_2} = \int\limits_8^{15} {\left( { - 3t + 45} \right)dt} = - \frac{{3{t^2}}}{2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{15}\\8\end{array}} \right. + 45t\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{15}\\8\end{array}} \right. = \frac{{147}}{2} = 73{,}5\,\left( m \right)$.

d) Sai

Trong khoảng thời gian từ $3$ đến $8$ giây đồ thị $v\left( t \right)$ là một Parabol đi qua $\left( {3;11} \right),\left( {5;3} \right),\left( {8;21} \right)$ có phương trình dạng: $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$.

Từ giả thiết ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{9a + 3b + c = 11}\\{25a + 5b + c = 3}\\{64a + 8b + c = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 2}\\{b = - 20}\\{c = 53}\end{array}} \right.$

Do đó: $v\left( t \right) = 2{t^2} - 20t + 53\,\,\left( {3 \le t \le 8} \right)$.

Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian này là:

$${S_3} = \int\limits_3^8 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} - 20t + 53} \right)dt = \,\,} \left( {\frac{{2{t^3}}}{3} - 10{t^2} + 53t} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}8\\3\end{array}} \right. = \frac{{115}}{3}\,\,\,\left( m \right)$$

Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian này là:

${v_{tb}} = \frac{{{S_3}}}{5} = \frac{{23}}{3} \approx 7{,}67\,\left( {m/s} \right)$.

$$\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \frac{3}{2} = \ln a + \frac{b}{c} \Rightarrow a = 2,\,b = 3,\,c = 2$$

$\Rightarrow a + b + c = 7$.

Đặt $u = {e^x}$ ta có $x = 0 \Rightarrow u = 1;\,x = \ln 2\sqrt 2 \Rightarrow u = 2\sqrt 2$; ${\rm{d}}u = {e^x}{\rm{d}}x$

Ta có $\int\limits_0^{\ln 2\sqrt 2 } {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1} }}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}}$

Đặt $t = u + \sqrt {{u^2} + 1} \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + \frac{u}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}} \right){\rm{d}}u \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{{u + \sqrt {{u^2} + 1} }}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}{\rm{d}}u \Leftrightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}$

Đổi cận $u = 1 \Rightarrow t = 1 + \sqrt 2 ;\,u = 2\sqrt 2 \Rightarrow t = 3 + 2\sqrt 2$

$$\int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}} = \int\limits_{1 + \sqrt 2 }^{3 + 2\sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}t}}{t}} = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{1 + \sqrt 2 }^{3 + 2\sqrt 2 } = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)$$

Ta có $a = 2,\,b = 1 \Rightarrow a \cdot b = 2$

Vận tốc của vật được biểu diển bởi hàm số $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right) = \int {10\sin t{\rm{d}}t} } = - 10\cos t + C$.

Khi vật bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc là $5{\rm{ m/s}}$ nên ta có $v\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow - 10\cos 0 + C = 5 \Leftrightarrow C = 15$.

Do đó $v\left( t \right) = - 10\cos t + 15$.

Ta có $- 1 \le \cos t \le 1,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]$

$\Leftrightarrow 10 \ge - 10\cos t \ge - 10,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]$

$$\Leftrightarrow 25 \ge - 10\cos t + 15 \ge 5,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]$$

$\Leftrightarrow 25 \ge v\left( t \right) \ge 5,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]$

Vậy vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất là $25{\rm{ m/s}}$ khi $t = \pi$.

Khi đó, gia tốc của vật tại thời điểm $t = \pi$ là $a\left( \pi \right) = 10\sin \pi = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Ta có: ${\sin ^8}x - {\cos ^8}x - 4{\sin ^6}x = \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x$

$= \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x$

$= {\cos ^4}x.{\sin ^2}x - {\sin ^4}x.{\cos ^2}x - {\cos ^6}x - 3{\sin ^6}x$

$= {\cos ^4}x.{\sin ^2}x - {\sin ^4}x.{\cos ^2}x - 2{\sin ^6}x - \left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right)$

$= {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right) - {\sin ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x} \right)$

$= 4{\cos ^2}x.{\sin ^2}x - 2{\sin ^4}x - 1$

$= - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}$.

Do đó $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x} = - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x + C$

Vì $f\left( 0 \right) = 0$ nên $- \frac{3}{{16}}\sin 4.0 + \frac{1}{2}\sin 2.0 - \frac{5}{4}.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$.

Vậy $f\left( x \right) = - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x$.

Ta có $I = \int\limits_0^\pi {8f\left( x \right){\rm{d}}x}$

$\begin{array}{l} = \int\limits_0^\pi {8\left( { - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x} \right){\rm{d}}x} \\ = \int\limits_0^\pi {\left( { - \frac{3}{2}\sin 4x + 4\sin 2x - 10x} \right){\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\frac{3}{8}\cos 4x - 2\cos 2x - 5{x^2}} \right)} \right|_0^\pi = - 5{\pi ^2}\end{array}$

Vậy $a = - 5$.