Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn D

Ta thấy $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB}$ là sai.

Chọn A

Ta có: $2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} = 4\overrightarrow {OD}$ (1)

Tương tự $\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OE}$ (2)

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OF}$ (3)

Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A

Chọn D

Qua M kẻ các đường thẳng ${A_1}{B_1}//AB,{A_2}{C_1}//AC,{B_2}{C_2}//BC$

$\Rightarrow$ Các tam giác đều $\Delta M{B_1}{C_1},\Delta M{A_1}{C_2},\Delta M{A_2}{B_2}$

Ta có: $\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_1}} } \right),\overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right),\overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_2}} + \overrightarrow {M{A_2}} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}$.

Chọn B

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)\\ = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 4\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 4\overrightarrow {AG} + 2I + 2\overrightarrow {GJ} = 4\overrightarrow {AG} \end{array}$$

(II) và (III) sai vì G không phải là trung điểm của AC và BD.

Chọn B

Lấy $A'$ sao cho $\frac{{A'B}}{{A'C}} = \frac{c}{b}$ hay $AA'$ là đường phân giác.

Ta có: $a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + \left( {b + c} \right)\overrightarrow {IA'} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ I thuộc đoạn $AA'$ và $\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{c}{{\frac{{ac}}{{b + c}}}} = \frac{{BA}}{{BA'}}$

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.

Chọn C

$\begin{array}{l}2\overrightarrow {IA} - 3\overrightarrow {IB} = 3\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IB} = 3\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} - 2\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = - 2\overrightarrow {CA} \end{array}$

Chọn D

M là trung điểm AB nên $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM}$,$\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AN} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} - 12\overrightarrow {AK} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 6\overrightarrow {AM} + 6\overrightarrow {AN} - 12\overrightarrow {AK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right)$$\Rightarrow$ K là trung điểm của MN.

Chọn C

Gọi K là trung điểm BC$\Rightarrow \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NK}$

Nên $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NK} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow$ N là trung điểm AK

Chọn D

$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {0 \Rightarrow }$ M là trọng tâm $\Delta ABC$

Xét tam giác $ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên $AB \bot BD$; mặt khác $AB \bot CH$ nên $BD//CH$ (1).

Tương tự, tam giác $ACD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên $AC \bot CD$; mặt khác $AC \bot BH$ nên $CD//BH$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BDCH$ là hình bình hành.

Ta có: $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO}$ (vì $O$ là trung điểm $AD$).

Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HC}$

$= 3\overrightarrow {OH} + (\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} ) = 3\overrightarrow {OH} + 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {OH} {\rm{. }}$

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: $|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} | \Leftrightarrow |\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} - 3\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {BM} |$ $\Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG} - 3\overrightarrow {MC} | = BM \Leftrightarrow |3(\overrightarrow {MG} - \overrightarrow {MC} )| = BM \Leftrightarrow 3|\overrightarrow {CG} | = BM \Leftrightarrow BM = 3CG$.

Nhận xét: Ba điểm $B,C,G$ cố định. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $B$, bán kính $R = 3CG$.

b) Ta có: $2|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} | \Leftrightarrow 2|3\overrightarrow {MG} | = 3|2\overrightarrow {MI} |$

(với $I$ là trung điểm của $BC$ ).

$\Leftrightarrow 6MG = 6MI \Leftrightarrow MG = MI{\rm{. }}$

Nhận xét: Hai điểm $G,I$ cố định. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $GI$.

c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ cố định.

Ta có: $|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} | = 2028 \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG} | = 2028 \Leftrightarrow 3MG = 2028 \Leftrightarrow MG = 676$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$, bán kính $R = 676$.

d) Ta có: $3\overrightarrow {AM} - 3\overrightarrow {AC} = 3(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} ) = 3\overrightarrow {CM}$ (1).

Gọi $I$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$.

Suy ra $I$ là điểm cố định. Khi đó:

$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI} + (\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI} + \vec 0 = 3\overrightarrow {MI} {\rm{ (2)}}{\rm{. }}$

Thay (1) và (2) vào hệ thức $|3\overrightarrow {AM} - 3\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} |$, ta được:

$|3\overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MI} | \Leftrightarrow 3CM = 3MI \Leftrightarrow MC = MI.$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IC$.

Ta có: $AE = CD = \frac{1}{2}AB,AE//CD$ nên $AECD$ là hình bình hành (*).

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $BCDE$ là hình bình hành (**).

a) Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề sai (do $(**))$.

c) Mệnh đề đúng (tính chất trung điểm).

d) Mệnh đề đúng (do (*)).

e) Mệnh đề đúng. Vì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {EB} = 2\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EB} = 3\overrightarrow {EB} = 3\overrightarrow {DC}$.

f) Mệnh đề đúng (tính chất trung điểm).

Ta có: $\overrightarrow {OA} = - 3\overrightarrow {OP} \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OP} = \vec 0$.

Khi đó: $3\overrightarrow {AP} - 2\overrightarrow {AC} = 3(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OP} ) - 2.2\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OP} = \vec 0$.

Ta có: $\overrightarrow {OP} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \Rightarrow P$ là trọng tâm của tam giác $BCD$, do vậy trung tuyến $BN$ của tam giác $BCD$ đi qua trọng tâm $P$ đó. Vậy ba điểm $B,P,N$ thẳng hàng.

Nhận xét: $AC$ và $BD$ cắt nhau tại tâm $O$ là trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác $:\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0$.

Do đó $O$ là trung điểm của $MN$ hay $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$.

$\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} + 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} ) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

Cách $1:MC = 2MB,\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {MC}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Cách 2: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

$\alpha \overrightarrow {IA} + \beta \overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow - \alpha \overrightarrow {AI} + \beta (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0 \Leftrightarrow (\alpha + \beta )\overrightarrow {AI} = \beta \overrightarrow {AB}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{\beta }{{\alpha + \beta }}\overrightarrow {AB}$.

Do $A,B$ cố định, $\frac{\beta }{{\alpha + \beta }}\overrightarrow {AB}$ không đổi nên tồn tại duy nhất điểm $I$ thỏa: $\alpha \overrightarrow {IA} + \beta \overrightarrow {IB} = \vec 0$.

Ta phân tích $\overrightarrow {AE}$ và $\overrightarrow {AF}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$.

$\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$

$\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD}$.

Xét hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {AF} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\frac{4}{3}\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AF} } \right.} \right.$

$\begin{array}{l}3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IC} - 2\overrightarrow {ID} = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2(\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {ID} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {DC} = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {JA} - 2\overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} + 2(\overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} ) = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = 2\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {IO} = \overrightarrow {AO} - \overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \end{array}$

$\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AJ} - \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD}$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\overrightarrow {IO} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {IJ} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}6\overrightarrow {IO} = - \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} \\\frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} = - \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} \end{array}\end{array} \Rightarrow 6\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ} = 4\overrightarrow {IO} } \right.} \right.$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} + 3\overrightarrow {JC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BJ} - 2\overrightarrow {BJ} + 3(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BJ} - 2\overrightarrow {BJ} + 3\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {BJ} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ} = - \overrightarrow {AB} + 3(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ} = - 4\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {BI} = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {BJ} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {BI} = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\frac{3}{2}\overrightarrow {BJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BJ} } \right.} \right.$