Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn C

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a$.

Chọn B

Do $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ ngược hướng nên $m = - \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{5}{{15}} = - \frac{1}{3}$.

Chọn B

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow$$M$là trung điểm của $IC$.

Chọn D

Chọn C

Ta có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}$ (1)

Gọi I là trung điểm BC, $A'$ đối xứng với A qua O.

Dễ thấy $HBA'C$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA'} \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HA'} = 2\overrightarrow {HO}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GH} = 2\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH}$.

Chọn A

+ B đúng vì $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD}$

$= 2\overrightarrow {IJ} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = 2\overrightarrow {IJ}$

+ C đúng vì $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} = 2\overrightarrow {IJ}$

+ D đúng vì $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0$

Chọn A

Kẻ $MN//AC,N \in AB$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\overrightarrow {AN} = \frac{{AN}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} = \frac{{MC}}{{BC}}.\overrightarrow {AB}$. $\overrightarrow {NM} = \frac{{NM}}{{AC}}.\overrightarrow {AC} = \frac{{MB}}{{BC}}.\overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NM} = \frac{{MC}}{{BC}}.\overrightarrow {AB} + \frac{{MB}}{{BC}}.\overrightarrow {AC}$.

Chọn D

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GC} = 4\overrightarrow {GM}$

Chọn C

Ta có: $\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NI} = - \overrightarrow {NB} \Rightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI}$

Chọn C

$a\overrightarrow {AM} + b\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow a\overrightarrow {MA} + b\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB}$

Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA}$

Khi đó:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GB} + (\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )$

$= 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP}$

$= - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} ;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} {\rm{. }}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) + 5\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AC} = 6\overrightarrow {AC}$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}$

$\begin{array}{l} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} \\ = 4\overrightarrow {MO} + (\underbrace {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} }_0) + (\underbrace {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} }_{\vec 0}) = 4\overrightarrow {MO} .\end{array}$

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

$2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB}$

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA}$.

Ta có: $\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB}$

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} )$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $- \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} = - \frac{1}{3}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) - \frac{2}{3}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

$= \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} ) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} {\rm{. }}$

Ta có: $- \frac{4}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} = - \frac{2}{3}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) - \frac{1}{3}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$ $= \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} .\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM} .\end{array}$

Đặt ${\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE}$. Vẽ hình chữ nhật $ABCD$. Từ giả thiết:

${\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec 0{\rm{ }}$(vật ở trạng tháng cân bằng)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AE} {\rm{. }}$

Ta có $AB=12,\widehat{CAD}={180}^{^{\circ}}-{120}^{^{\circ}}={60}^{^{\circ}}$ $\Rightarrow \overrightarrow{BAC}={30}^{^{\circ}}.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên: $BC=AB\tan {30}^{^{\circ}}=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}=AD;$

Độ lớn lực $\overrightarrow {{F_2}}$ bằng $4\sqrt 3 \;N$.

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{(4\sqrt 3 )}^2}} = 8\sqrt 3$. Do vậy $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = |\overrightarrow {AE} | = AC = 8\sqrt 3 \;N$.

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ} \left( 1 \right)\\\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \left( 2 \right)\end{array} \right.$

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:

$\begin{array}{l}2\overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ) + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} ) + (\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} )\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \vec 0 + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \vec 0 = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \end{array}$

Suy ra $k = 2$

Theo tính chất đường trung bình thì

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{DE//AB}\\{DF//AC}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{DE//AF}\\{DF//AE}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra: $AEDF$ là hình bình hành $\Rightarrow AD = AE + AF$.

Từ giả thiết ta có $I$ là tâm của hình bình hành $AEDF$.

Khi đó: $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} ) = \frac{1}{2}(\vec u + \vec v) = \frac{1}{2}\vec u + \frac{1}{2}\vec v$;

Ta có

$\begin{array}{l}{\rm{ }}\overrightarrow {A{A^\prime }} + \overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G{G^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{A^\prime }} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G{G^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G{G^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{C^\prime }} \\ = 3\overrightarrow {G{G^\prime }} + (\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} ) + \left( {\overrightarrow {{G^\prime }{A^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{C^\prime }} } \right) = 3\overrightarrow {G{G^\prime }} + \vec 0 + \vec 0 = 3\overrightarrow {G{G^\prime }} .\end{array}$

Suy ra $k = 3$

Ta có: $\overrightarrow {{F_2}} = - 2{\vec F_1}$. Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng $\vec 0$. $\Leftrightarrow {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow {\vec F_1} - 2{\vec F_1} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} + {\vec F_4} = {\vec F_1}$.

Đặt ${\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} ,{\vec F_3} = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {OD}$.

Ta có: ${\vec F_3} + {\vec F_4} = {\vec F_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA}$. Do đó $OCAD$ là hình bình hành.

Mặt khác: $OC = OD = 20$ và $\widehat{COD}={45}^{^{\circ}}+{45}^{^{\circ}}={90}^{^{\circ}}$ nên $OCAD$ là hình vuông. Khi đó: $\left| {{{\vec F}_1}} \right| = OA = 20\sqrt 2 \;N,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\left| {{{\vec F}_1}} \right| = 40\sqrt 2 \;N$.