Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ thỏa mãn ${x_1}.{x_2} = - 8$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1}.{x_2} = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 6 > 0\\m - 5 = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 6\\m = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m = - 3$.

Khi đó phương trình có dạng ${x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên âm.

Bình phương hai vế ta được

$$\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}$$

Thay các giá trị tìm được vào phương trình trên thì thấy chỉ có nghiệm $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:$2{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 1 = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.$

Thay $x = 1$ vào phương trình ta được $2 = 2$ là mệnh đề đúng nên $x = 1$ là nghiệm của phương trình.

Thay $x = - 2$ vào phương trình ta được $\sqrt 1 = - 5$ là mệnh đề sai nên $x = - 2$ không là nghiệm của phương trình.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 1.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:$2{x^2} - x + 1 = {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 8\end{array} \right.$

Thay $x = - 1$ vào phương trình ta được $2 = 2$ là mệnh đề đúng nên $x = - 1$ là nghiệm của phương trình.

Thay $x = 8$ vào phương trình ta được $\sqrt {121} = 11$ là mệnh đề đúng nên $x = 8$ là nghiệm của phương trình.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là $- 8$.

Bình phương hai vế phương trình ta được

$3{x^2} + 7x - 2 = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 3\end{array} \right.$. Thay lần lượt hai giá trị của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có $1$ nghiệm.

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 17} = x + 3$ ta được

$2{x^2} + 17 = {x^2} + 6x + 9$

Sau khi thu gọn ta được ${x^2} - 6x + 8 = 0$.

Bình phương hai vế của phương trình, ta được

$- {x^2} + 28 = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 4\end{array} \right.$

Thay lần lượt $x = - 4$ và $x = 4$ vào phương trình đã cho, ta thấy $x = - 4$ và $x = 4$ đều thỏa mãn; Vì $4 > 0$

Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\{x_2} = - 4\end{array} \right.$.

Vậy $S = 2{x_1} + {x_2} = 2.4 + \left( { - 4} \right) = 4$.

Ta có $- 6 + \sqrt {25{x^2} - 10x + 1} = x \Leftrightarrow \sqrt {25{x^2} - 10x + 1} = x + 6$

Bình phương hai vế phương trình ta được

$25{x^2} - 10x + 1 = {x^2} + 12x + 36 \Leftrightarrow 24{x^2} - 22x - 35 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{7}{4}\\x = \frac{{ - 5}}{6}\end{array} \right.$. Thay lần lượt hai giá trị của $x$vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy tổng hai nghiệm là $\frac{7}{4} + \frac{{ - 5}}{6} = \frac{{11}}{{12}}$.

Ta có $\sqrt { - {x^2} + 13x - 2m - 12} = \sqrt { - 2{x^2} + 10x - 8}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x^2} + 10x - 8 \ge 0\\{x^2} + 3x - 4 = 2m\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\{x^2} + 3x - 4 = 2m\,\,(1)\end{array} \right.$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn $\left[ {1;4} \right]$

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x - 4$ và đường thẳng $y = 2m$.

Xét hàm số $y = {x^2} + 3x - 4$ có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[ {1;4} \right]$ thì $m \in \left[ {0;12} \right]$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: ${x^2} + 2 \ge 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$.

Bình phương hai vế ta được $5{x^2} - 8x + 2 = {x^2} + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{ 0;2\}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Điều kiện: $2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}$.

$(x - 2)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow (x - 2)\sqrt {2x + 7} = (x - 2)(x + 2)$

$\Leftrightarrow (x - 2)[\sqrt {2x + 7} - (x + 2)] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {2x + 7} = x + 2}\end{array}} \right.$.

+) $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn).

+) $\sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2 \ge 0}\\{2x + 7 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 2}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm $x = 2$ và $x = 1$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $x = 8$.

b) $x = 3$.

c) $x = - \frac{1}{9}$ hoặc $x = 3$.

d) $x = 2$ hoặc $x = 4$. (HD: pt $\Leftrightarrow \sqrt {3x - 3} = \sqrt {2x - 4} + \sqrt {5 - x}$)

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: $x \ge - 1.pt \Leftrightarrow 2{(x - 2)^2} + 2(x + 1) - 5(x - 2)\sqrt {x + 1} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {2{{(x - 2)}^2} - (x - 2)\sqrt {x + 1} } \right] + \left[ {2{{(\sqrt {x + 1} )}^2} - 4(x - 2)\sqrt {x + 1} } \right] = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)[2(x - 2) - \sqrt {x + 1} ] - 2\sqrt {x + 1} [2(x - 2) - \sqrt {x + 1} ] = 0\\ \Leftrightarrow [2(x - 2) - \sqrt {x + 1} ][(x - 2) - 2\sqrt {x + 1} ] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}2(x - 2) - \sqrt {x + 1} = 0\\2\sqrt {x + 1} - (x - 2) = 0\end{array}\end{array}} \right.\end{array}$

$(1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 2(x - 2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 2}\\{4{x^2} - 17x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 2}\\{\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{x = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.$.

$(2) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 2}\\{{x^2} - 8x = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = 8} \right.$.

So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: $x = 3$ hoặc $x = 8$.

Đặt $t = \sqrt[3]{{3x - 2}} \Rightarrow {t^3} = 3x - 2 \Rightarrow \frac{{{t^3} + 2}}{3} = x$.

Phương trình trở thành: $2t + 3\sqrt {6 - 5 \cdot \frac{{{t^3} + 2}}{3}} - 8 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sqrt {\frac{{8 - 5{t^3}}}{3}} = 8 - 2t \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}8 - 2t \ge 0\\9.\frac{{8 - 5{t^3}}}{3} = 64 - 32t + 4{t^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}t \le 4\\24 - 15{t^3} = 64 - 32t + 4{t^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}t \le 4\\15{t^3} + 4{t^2} - 32t + 40 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}t \le 4\\15{t^3} + 4{t^2} - 32t + 40 = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}t \le 4\\(t + 2)(15{t^2} - 26t + 20) = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}t \le 4\\t = - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow t = - 2.} \right.} \right.\end{array}$

Với $t = - 2$ thì $x = \frac{{{{( - 2)}^3} + 2}}{3} = - 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{ - 2\}$.

$\sqrt {{x^2} + 2x - m} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 1 \ge 0}\\{{x^2} + 2x - m = {{(2x - 1)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - 6x + 1 = - m(*)}\end{array}} \right.} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

Xét hàm số $f(x) = 3{x^2} - 6x + 1$ trên $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi $- 2 < - m \le - \frac{5}{4}$ $\Leftrightarrow \frac{5}{4} \le m < 2$.

Gọi $x(m)(x > 0)$ là đường kính của nửa đường tròn.

Khi đó hình chữ nhật có hai kích thước là $x$ và $\sqrt {5,{2^2} - {x^2}}$.

Diện tích nửa hình tròn là $\frac{{\pi {x^2}}}{8}$ và diện tích hình chữ nhật là $x\sqrt {5,{2^2} - {x^2}}$.

Theo giả thiết ta có: $\frac{{\pi {x^2}}}{8} = \frac{3}{{10}}x\sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \Leftrightarrow \frac{5}{{12}}\pi x = \sqrt {5,{2^2} - {x^2}}$ $\Leftrightarrow \frac{{25}}{{144}}{\pi ^2}{x^2} = \frac{{676}}{{25}} - {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{{25}}{{144}}{\pi ^2} + 1} \right) = \frac{{676}}{{25}} \Leftrightarrow x \approx 3{,}2(\;m)$.

Diện tích cánh cửa là: $\frac{{\pi \cdot 3,{2^2}}}{8} + 3{,}2\sqrt {5,{2^2} - 3,{2^2}} \approx 17{,}1\left( {\;{m^2}} \right)$.

Do đó số tiên ông An phải trả là: $1300000 \cdot 17{,}1 = 22230000$ (đồng).

Ta có $\sqrt {{x^2} - 7x + 10} = 3x - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 \ge 0\\{x^2} - 7x + 10 = 9{x^2} - 6x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\8{x^2} + x - 9 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{9}{8}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$.

Vậy phương trình đã cho có $1$ nghiệm.

Điều kiện: $x \ge - \frac{7}{2}$.

Ta có: $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4$

$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7} = x + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1$ và $x = 2$ nên tổng các nghiệm của phương trình là $3$.

$TB=\sqrt{T{C}^{2}+C{B}^{2}-2TC.CB.\cos 60^{\circ}}=\sqrt{{x}^{2}-3x+9}$

$TA=\sqrt{T{C}^{2}+C{A}^{2}-2TC.CA.\cos 120^{\circ}}=\sqrt{{x}^{2}+2x+4}$

Với TA = TB suy ra

$\sqrt{{x}^{2}-3x+9}=\sqrt{{x}^{2}+2x+4}$