Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được $2{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow {x^2} - x = 0$.

Sau khi thu gọn ta được ${x^2} - x = 0$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được $2{x^2} - x + 3 = {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0$

Sau khi thu gọn ta được ${x^2} - 3x + 2 = 0$.

Ta có $\sqrt {{x^2} + x + 11} = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \,\,\left( 1 \right)$.

Bình phương hai vế của phương trình $\left( 1 \right)$ ta được ${x^2} + x + 11 = - 2{x^2} - 13x + 16\,\,\left( 2 \right)$.

Ta có $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right..$

Thay lần lượt $x = - 5$ và $x = \frac{1}{3}$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta thấy $x = - 5$ và $x = \frac{1}{3}$ đều thỏa mãn.

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm là $x = - 5$ và $x = \frac{1}{3}$.

Nên tổng các nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là $- 5 + \frac{1}{3} = - \frac{{14}}{3}$.

Bình phương hai vế của phương trình, ta được

${x^2} - 9x + 15 = 2{x^2} - 4x + 9 \Leftrightarrow - {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 1\end{array} \right.$

Thay lần lượt $x = - 6$ và $x = 1$ vào phương trình đã cho, ta thấy $x = - 6$ và $x = 1$ đều thỏa mãn và $- 6 < 1$.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 6\\{x_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A = \left( { - 6} \right).1 + \left( { - 6} \right) = - 12$.

Ta có $\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \,\,\left( 1 \right)$

Bình phương hai vế của ta được $2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} + 4x + 3\,\left( 2 \right)$.

Ta có: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là $x = - 1$ và $x = 2$.

Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình,ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = - 1$ và $x = 2$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$3{x^2} + 8x + 1 = {(2x + 1)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 1 = 4{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Thay $x = 0$ vào phương trình ta được $1 = 1$ là mệnh đề đúng nên $x = 0$ là nghiệm của phương trình.

Thay $x = 4$ vào phương trình ta được $\sqrt {81} = 9$ là mệnh đề đúng nên $x = 4$ là nghiệm của phương trình.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $4$.

Bình phương hai vế của phương trình, ta được

${x^2} - 3x + 5 = - 2{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\end{array} \right.$

Thay lần lượt $x = 1$và $x = \frac{4}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy $x = 1$và $x = \frac{4}{3}$ đều thỏa mãn.

Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\end{array} \right.$.

Mà $1 < \frac{4}{3} \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}$. Vậy $A = {x_1} + 3{x_2} = 1 + 3.\frac{4}{3} = 5$.

Bình phương cả hai vế ta được

$3{x^2} + 5x + 6 = 2{x^2} + 10x + 12$

$\Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 1\end{array} \right.$

Thay lần lượt $x = 6$ và $x = - 1$ vào $3{x^2} + 5x + 6 \ge 0$, ta thầy cả 2 giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 6$ và $x = - 1$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

$\sqrt {{x^2} - 4x - 5} - \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 5} = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .$

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: ${x^2} - 4x - 5 = 2{x^2} + 3x + 1 \Rightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 1$ hoặc $x = - 6$.

Thay lần lượt $x = - 1;x = - 6$ vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị này đều thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{ - 1; - 6\}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

(1) Ta có: $\sqrt {3 - 2x} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{3 - 2x = {x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{x = 1 \vee x = - 3}\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.} \right.} \right.$. Vậy tập nghiệm phương trình là: $S = \{ 1\}$.

(2) Ta có: $\sqrt {7x + 11} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {7x + 11} = - x - 1$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l} - x - 1 \ge 0\\7x + 11 = {x^2} + 2x + 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x \le - 1\\{x^2} - 5x - 10 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x \le - 1\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {65} }}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{5 - \sqrt {65} }}{3}.} \right.} \right.} \right.$$

Vậy tập nghiệm phương trình là: $S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {65} }}{3}} \right\}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) $x = \frac{{14}}{5}$.

b) $x = \frac{{ - 3 + \sqrt {105} }}{{16}}$.

c) $x = 4$ hoặc $x = 7$.

d) Phương trình vô nghiệm.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: $2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{3}{2}$.

${\rm{ pt }} \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + \frac{9}{4} = {(\sqrt {2x + 3} )^2} - 2\sqrt {2x + 3} + \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3} - \frac{1}{2}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}2x - \frac{3}{2} = \sqrt {2x + 3} - \frac{1}{2}\\2x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt {2x + 3} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} = 2x - 1\\\sqrt {2x + 3} = 1 - 2x\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{4}\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.$

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là $x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{4}$ hoặc $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}$.

Trường hợp 1: Với $x \ge 0$, phương trình đã cho trở thành

$\sqrt {2{x^2} - x + 3} = - x + 5$. (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

$2{x^2} - x + 3 = {x^2} - 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 9x - 22 = 0 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = - 11$.

Mà $x \ge 0$ nên ta nhận $x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với $x < 0$, phương trình trở thành

$\sqrt {2{x^2} + x + 3} = - x + 5.(2)$

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

$2{x^2} + x + 3 = {x^2} - 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 11x - 22 = 0$

$\Rightarrow x = \frac{{ - 11 + \sqrt {209} }}{2}$ hoặc $x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}.$

Mà $x < 0$ nên ta nhận $x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}$.

Thay $x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}$ vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {2;\frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}} \right\}$.

$\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{\rm{ }}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {(x - 2)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m(*)\end{array}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}$

Xét hàm số $f(x) = {x^2} + 2x - 4,(x \ge 2)$

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm $x \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2$.

$\sqrt {2{x^2} - 2mx - 4} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 2mx - 4 = {x^2} - 2x + 1\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2(m - 1)x - 5 = 0(*)\end{array}\end{array}} \right.$

Do pt $(*)$ có $ac = - 5 < 0$ nên pt $(*)$ luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Nên để pt đã cho có nghiệm thì pt $(*)$ có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow - 5 - 2(m - 1) + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge - 1.{\rm{ }}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi $m \in [ - 1; + \infty )$.

. $Pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\3{x^2} + (4 - m)x - 1 = 0\quad \left( * \right)\end{array} \right.$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng $- \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ đồ thị hàm số $y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1$ trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số $y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1$ trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$. Ta có $- \frac{b}{{2a}} = \frac{{m - 4}}{6}$

+ TH1: Nếu $\frac{{m - 4}}{6} \le - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \le 1$ thì hàm số đồng biến trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ nên $m \le 1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu $\frac{{m - 4}}{6} > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m > 1$:

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y = 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x - 1$ trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow y\left( { - \frac{1}{2}} \right) \ge 0 > y\left( {\frac{{m - 4}}{6}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2m - 9}}{4} \ge 0 > \frac{1}{{12}}\left( { - {m^2} + 8m - 28} \right)$ (1)

Vì $- {m^2} + 8m - 28 = - {(m - 4)^2} - 12 < 0,\forall m$ nên (1) $\Leftrightarrow 2m - 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}$ (thỏa mãn $m > 1$ )

Vậy $m \ge \frac{9}{2}$ là giá trị cần tìm.

Ta có $\sqrt {2{x^2} + mx + 5} - x = 3$ (1) $\Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + mx + 5} = x + 3$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 3}\\{2{x^2} + mx + 5 = {{(x + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 3}\\{{x^2} + (m - 6)x - 4 = 0}\end{array}} \right.} \right.$

Vì phương trình (2) có $a.c = - 4 < 0$ nên luôn có hai nghiệm ${x_1} < 0 < {x_2}$.

Vì ${x_2} \ge - 3$ nên ${x_2}$ là một nghiệm của (1). Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì ${x_1} < - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - m + 6 - \sqrt \Delta }}{2} < - 3 \Leftrightarrow \sqrt \Delta > 12 - m$. $\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 12m + 52} > 12 - m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{12 - m < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{12 - m \ge 0}\\{{m^2} - 12m + 52 > {{(12 - m)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m > 12}\\{\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le 12}\\{m > \frac{{23}}{3}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m > \frac{{23}}{3}.} \right.} \right.}\end{array}} \right.$

Ta có $1\;h14$ phút $= \frac{{37}}{{30}}(\;h)$. Gọi $AM = x(\;km)(x > 6)$ Suy ra thời gian đi từ $A$ đến $M$ là $\frac{x}{{10}}(\;h)$. Khi đó $BM = \sqrt {{x^2} - 36}$ và $CM = 15 - \sqrt {{x^2} - 36}$.

Thời gian đi từ $M$ đến $C$ là $\frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}}$.

Theo giả thiết ta có phương trình: $\frac{x}{{10}} + \frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}$.

Giải phương trình ta được $x = 10(\;km)$

Do đó tổng quảng đường phải đi là $AM + MC = 10 + \left( {15 - \sqrt {{{10}^2} - 36} } \right) = 17(\;km)$